Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что .

Отсюда и из теоремы 23 следует справедливость теоремы 24.

Следствие 25 Если функция возрастает для любого , то уравнения 37 и равносильны.

Следствие 26 Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения 37 и равносильны.

Более сложным является решение уравнения 37 в том случае, когда на некотором отрезке функция является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы 24 и двух следствий только при условии, что в уравнении 37 число нечетное.

Теорема 27 Если --- убывающая функция на отрезке , --- нечетное и , то на данном отрезке уравнения 37 и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения 37, т.е.

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , , и т. д.

Так как --- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как --- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы 23, следует справедливость теоремы 27.

Следствие 28 Если функция убывает для любого и --- нечетное, то уравнения 37 и равносильны.

Следствие 29 Если функция убывает на своей области определения и --- нечетное, то уравнения 37 и равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение 37 с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение 37 также имеет не более одного корня.

Если в уравнении 37 --- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения 37 и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения 37 необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 30 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения 38, то уравнения 38 и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть --- корень уравнения 38, т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения 38 возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть --- корень уравнения , т. е. . Отсюда следует .

Следствие 31 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций и , то уравнения 38 и равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения 38 необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 32 Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение 38 равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и ( ), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 33 Решить уравнение

3939()

где квадратный корень берется раз ( ).

Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть , тогда уравнение 39 принимает вид функционального уравнения 37.

Так как при функция возрастает и , то уравнение 39 равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ: .

Пример 34 Решить уравнение

4040()

Решение. Перепишем исходное уравнение 40 в виде функционального уравнения типа 38, т.е.

4141()

где .

Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения 41 можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ: .

Пример 35 Решить уравнение

4242()

Решение. Преобразуем уравнение 42 следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

4343()

Пусть , тогда уравнение 43 принимает вид

4444()

Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию 28) уравнение 44 равносильно уравнению , т.е. уравнение 43 равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение , которое имеет единственный действительный корень .

Ответ: .

Пример 36 Решить уравнение

4545()

Решение. Поскольку при всех , то областью допустимых значений уравнения 45 является множество всех действительных чисел.

Положив , и , увидим, что заданное уравнение 45 принимает вид , где и . Так как из следует, что

то функция является возрастающей на области значений функций и . В этой связи уравнение 45 равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня .

Ответ: .

6. Методы, основанные на применении векторов

Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектор в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами , , и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле . Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор , координаты которого вычисляются как (соответственно, ).

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов и справедливо неравенство , т.е.

4646()

Формула 46 обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл 46 состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула 46 иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в 46 достигается тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, из равенства в 46 следует, что . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. .

В свою очередь, равенство свидетельствует о том, что векторы , противоположно направлены и . Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле

4747()

где --- угол, образованный векторами и .

Для вычисления скалярного произведения двух векторов и , заданных в координатной форме, существует еще одна формула

4848()

Из формул 47 и 48 легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами и , т.е

4949()

Из формулы 47 следует, что векторы , являются коллинеарными тогда и только тогда, когда .

Отметим, что формулы 46--49 обобщаются на случай векторов и , заданных в -мерном пространстве (где ).

Задачи и решения

Пример 37 Доказать, если , то

5050()

где .

Доказательство. Пусть , , ..., , тогда , ,..., . Введем в рассмотрение вектор .

Так как , то вектор имеет координаты и . Поскольку , то неравенство треугольника принимает вид

5151()

Если в неравенство 51 подставить выражения для и , то получим требуемое неравенство 50.

Пример 38 Решить неравенство

5252()

Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты , а вектор --- координаты . Тогда имеем и . Пусть , тогда координаты вектора будут вычисляться по формулам и . Отсюда следует, что . Поскольку , то имеет место неравенство треугольника . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство . Отсюда и из 52 следует равенство

5353()

Равенство 53 означает, что .

Отсюда следует, что векторы и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение , откуда вытекает .

Ответ: .

Пример 39 Решить уравнение

5454()

Решение. Введем в рассмотрение два вектора и . Тогда , и .

Принимая во внимание уравнение 54, получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

5555()

Из уравнения 55 следует, что . Если возвести в квадрат обе части уравнения 55, то получим уравнение , которое имеет следующих три корня: и . Поскольку , то решением уравнения 54 являются и .

Ответ: , .

Пример 40 Найти минимальное значение функции

Характеристики

Список файлов курсовой работы