86323 (612720), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

мы можем быть уверены, что обладает свойствами .

Аналогичные расширенные определения и расширенные теоремы о свойствах можно поострить и для многих других понятий школьного курса математики (понятия конгруэнтности отрезков, углов, треугольников; параллельности прямых; понятия прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция; параллельность прямой и плоскости, плоскостей; понятие корня квадратного уравнения; возрастающей и убывающей функции и т. д.).

Роль расширенных определений и теорем в процессе обучения

В процессе обучения математике целесообразно как можно чаще применять такие логические конструкции изучаемого материала, как расширенные определения и теоремы.

Чтобы лучше понять расширенных определений и расширенных теорем – свойств в обучении, отметим следующее. В традиционной методике после определения понятия рассматривались обычно весьма случайно отобранные теоремы, среди которых наряду с теоремами-признаками выступали и теоремы-свойства; при этом и те и другие теоремы не представляли собой логически организованной системы. Поэтому, применяя те или иные теоремы к решению задач, лишь немногие учащиеся оказывались способными самостоятельно использовать рассмотренное понятие или относящуюся к нему теорему при решении новых задач или изучении новых теорем.

Конструируя в процессе обучения все более широкие определения некоторого понятия или все более широкие совокупности теорем-свойств, мы тем самым устанавливаем органическую связь между свойствами понятия, отраженными в его определении, и другими свойствами, присущими только этому понятию. Доказав, что данный конкретный объект принадлежит к объему данного понятия, учащиеся актуализируют вои знания об изученном понятии, расширяют объем этих знаний, а значит, и возможности их приложения. Поэтому в процессе изучения понятий, аксиом и теорем рекомендуется сопоставлять вместе с учащимися постоянно дополняющиеся «списки», представляющие расширенные определения важнейших математических понятий или теорем-свойств.

Помимо логической организации изучаемого материала в сознании школьников, отмеченная выше методика работы с понятиями и теоремами делает сам процесс изучения математической теории более организованным и более естественным. Если учитель следует этой методике, его ученики будут ожидать, что после введения и определения нового понятия будут изучаться те его свойства, которые наряду с определение дадут возможности обнаружить это понятие в новой ситуации, а также использовать те свойства этой ситуации, которые имеют место. Если установлено наличие в ней данного понятия. Тем самым изучение теоремы и определения представляются учащимся в единой, взаимосвязанной системе, а не как случайно собранные вместе утверждения.

Возможные обобщения теоремы

Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами.

1. Обобщение по размерности. Известно следующее утверждение:

Если , то для любой точки существуют такие числа и , что

и .

Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению:

Если лежит в плоскости , то для любой точки найдутся такие числа , , , что

и .

1. Обобщение путем отбрасывания условий. Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу:

Доказать, что при выполняется неравенство

.

Здесь может быть отброшено условие . Тогда, введя функцию при и используя производную, легко устанавливаем, что при .

1. Обобщение на основе рассмотрения частных случаев. Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример:

Найти , если .

Обращаемся к частным случаям:

Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что , а потом ее и доказать.

1. Обобщение на основе метода доказательства. В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения.

Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник – параллелограмм.

Анализируя метод доказательства, можно получить известное обобщение.

1. Обобщение путем изменения. Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения.

Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене . Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены:

Без труда можно сформулировать возможные обобщения.

1. Обобщение как усиление. Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства

.

Введем функцию . Легко убедиться, что при она возрастает и график является выпуклым вниз (рис. 1).

рис. 1

Рассмотрим криволинейную трапецию . Очевидно, что ее площадь может быть вычислена по формуле

.

Площадь криволинейного треугольника находится по формуле

, или .

Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что

.

Так как площадь квадрата равна , то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше . Укажем координаты “нужных” точек:

.

Теперь рассмотрим точку . Пользуясь выпуклостью вниз графика функции , легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше площади треугольника . Докажем неравенство (это больше, чем нам нужно):

.

Отсюда и получаем требуемое неравенство.

1. Обобщение на основе соединения. При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук – биофизика, биохимия, математическая биология и др.).

Известны следующие утверждения:

1. а) Если и - корни трехчлена , то .

б) Если и - любые числа, а , , то и - корни уравнения .

2. Пусть - точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой и , (рис. 2). Доказать, что площадь треугольника равна .

рис. 2

Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания:

Если и - отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то:

а) ;

б) ;

в) ,

где - гипотенуза, а - площадь треугольника.

ОБОБЩЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Обобщение в преподавании математики

При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Так, например, изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданным первому ее члену и разности.

При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства:

a₂ = a₁ + d,

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d и т. д.

Естественно, возникает полезное обобщение эти равенств в одной формуле a_n = a₁ + d(n – 1), с помощью которой устанавливается более короткий способ для вычисления любого члена арифметической прогрессии.

В дальнейшем эта формула получает новое обобщение, когда устанавливается, что любая арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента:

y = kx + b, где x N.

Можно сказать, что обобщение выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.

Так, например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения множества натуральных чисел к множеству дробных положительных чисел.

К обобщению могут привести: а) замена некоторой постоянной объекта переменной (треугольник многоугольник); б) отказ от ограничения, наложенного на объект изучения D (D – множество действительных чисел).

Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или переход от менее емкого множества к более емкому, содержащему первоначальное.

1. Если случайно мы встречаем сумму

,

мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:

.

Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных чисел, т.е.

,

оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.

Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения.

1. Обобщение часто может помочь решить задачу. Рассмотрим следующую стереометрическую задачу:

«Правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части». Задача эта может показаться сложной; однако достаточно небольшого знакомства с формой правильного октаэдра, чтобы прийти к следующему обобщению:

«Замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость, конечно, проходит через центр симметрии поверхности и определяется этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается решенной.

Конечно, нельзя не заметить, что вторая задача была более общей, чем первая, и, тем не менее, она оказалась проще. Нашим главным достижением при решении первой задачи было то, что мы придумали вторую задачу. Придумав вторую задачу, мы выяснили роль центра симметрии; мы выделили то свойство октаэдра, которое является существенным в данной задаче, именно – наличие у него центра симметрии.

Характеристики

Список файлов курсовой работы