Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сохраняя ту же систему координат (, , ), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и используя выражения коэффициентов Ламе (2), перепишем предыдущее уравнение в форме

(13)

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций

= N(, ) Е();

тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k – произвольное число, которое будем считать положительным и целым)

Первое уравнение имеет решение: Е = A cos k + В sin k;

второе, если положить N = L() М() и разделить переменные, может быть приведено к системе уравнений

имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра⁴

(14)

Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при , получим общее выражение потенциала скоростей

здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности V, направленной параллельно оси Оу (Приложение 1, б).

Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала

A_n1 = сVС_n, A_n2 = A_n3 =… = 0, B_n1 = В_n2 =… = 0,

т.е. довольствуясь решением, содержащим cos , и, кроме того, представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию , и

получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V вдоль оси Оу потока:

или, используя определение присоединенных функций Лежандра (14),

(15)

Для определения постоянных С_n, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость V_n = /n и приравнивать ее нулю.

Несколько облегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (, ) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):

или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,

Отсюда вытекает искомое граничное условие

(16)

в котором является заданной функцией согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные /, / и используя (15) получаю:

Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Р_n и Q_n

получим после простых приведений

Подставляя эти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе

получим после очевидных сокращений

Имея в виду, что на поверхности тела представляет заданную функцию от , перепишем граничное условие в окончательной форме так:

(17)

3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения

В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.

Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом. Изложим его основную идею⁵.

Основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов А_n при продольном и С_n – при поперечном обтекании тела. Чем проще будет связь между и , определяющая форму контура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов А_n, С_n можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющего точки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства = const.

Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений , мало превышающих значение = сh = 1 или = 0, соответствующее отрезку оси Oz, соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Q_n() и dQ_n/d при , лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых будут иметь

место равенства

(18)

где _n и _n – малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малых все функции Q_n и dQ_n/d в первом приближении не зависят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания (9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид

(19)

где производная dP_n/d представляет известную функцию величины = cos . Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов n = m, можно, пользуясь выражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество

(20)

из которого можно вывести выражения коэффициентов A_n через a_n. Так, например, при m = 5 имеем

A₁ = a₁ – 3/5 a₃ + 3/35 a₅, A₂ = a₂ – 9/7 a₄, A₃ = 8/5 a₃ – 32/15 a₅,

A₄ = 16/7 a₄, A₅ = 64/21 a₅.

Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах

(21)

определим тем самым числа а_n, а уже после этого, согласно тождеству (20), и величины коэффициентов A_n, что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточные члены _n и _n, что приведет ко второму и следующим приближениям.

Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура изменяется в пределах от 1 + ½ ²_min до 1 + ½ ²_max; при этом остается в пределах ±1. Таким образом, можно считать, что производная d/d имеет порядок ²_max, т.е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина

имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина

мала по сравнению с величиной . Действительно,

Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеет при малых порядок 1/², второй – ln 1/.

Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где мало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть заменено на приближенное

(22)

Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19), видим, что между искомыми коэффициентами A_n и C_n существует простое соотношение

C_n = -2A_n/n (n+1). (23)

В первом приближении обе задачи – продольного и поперечного обтекания – решаются одновременно и сравнительно легким путем. При обычных значительных удлинениях тел вращения вполне можно довольствоваться первым приближением.

Определив коэффициенты A_n и C_n, найду выражения потенциалов и компонент скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле. Отмечу, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи нее можно пользоваться для Q_n и dQ_n/d приближенными выражениями (18). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела возрастает и формулы (18) становятся все менее и менее точными.

4. Применение метода особенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения

Изложенный в предыдущих параграфах (§ 1 и § 2) метод исследования продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные особенности потока – системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии – непрерывные их распределения.

Предположим для определенности, что на отрезке (– с, + с) оси Ох задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q(х). Тогда потенциал ' возмущенного движения, созданного этой системой особенностей, будет равен (знак минус введем в определение интенсивности q)

(24)

Если задаться видом функции q(x'), то, вычисляя интеграл (24), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по r и x позволит вычислить и проекции скорости V_r и V_x. Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q(х') будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман⁶ разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким.

Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя: – m cos / (4r²⁾, можно составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая потенциал однородного натекания с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку – с < х < с диполей интенсивности m(х')

Характеристики

Список файлов курсовой работы