86165 (612669), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Як історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус емпірично встановив цю закономірність ще в п'ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, що містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.

Для доказу візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння відносно , тобто звернути інтеграл. Зробимо це за допомогою формули обігу Мелина в такий спосіб. Нехай . Тоді

(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а не вплине на асимптотику . Дійсно, тому що , інтеграл для сходиться рівномірно в напівплощині , що легко виявляється порівнянням з інтегралом . Отже, регулярна й обмежена в напівплощині . Те ж саме справедливо й відносно , тому що .

Ми могли б уже застосувати формулу Меллина, але тоді було б досить важко виконати інтегрування. Тому колись перетворимо рівність (3) у такий спосіб. Диференціюючи по s, одержуємо . Позначимо ліву частину через і покладемо , , ( , і думаємо рівними нулю при ). Тоді, інтегруючи вроздріб, знаходимо при , або .

Але безперервна й має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а тому що , те ( ) і ( ). Отже, абсолютно інтегрувальна на при . Тому при , або при . Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, тому що обмежено при , поза деякою околицею крапки . В околиці й можна покласти , де обмежена при , і має логарифмічний порядок при . Далі, . Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих крапках, розташованих ліворуч від прямої , тобто . У другому члені можна покласти , тому що має при лише логарифмічну особливість. Отже, . Останній інтеграл прагне до нуля при . Виходить,

(4).

Щоб перейти обернено до , використовуємо наступну лему.

Нехай позитивна й не убуває й нехай при . Тоді .

Дійсно, якщо - дане позитивне число, те ( ). Звідси одержуємо для кожного

. Але тому що не убуває, то . Отже, . Думаючи, наприклад, , одержуємо .

Аналогічно, розглядаючи , одержуємо , виходить , що й було потрібно довести.

Застосовуючи лему, з (4) маємо, що , , тому й теорема доведена.

Таким чином, ми з'ясували основні характеристики функції-дзета-функції: властивості функції в речовинній області, розподілу простих чисел у натуральному ряді й дослідження функції-дзета-функції як функції мнимого аргументу.

Список літератури

1.Титчмарш Е.К. Теорія функції-дзета-функції Римана. К., 2000 р.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К, 2004

3.Привалов І.І. Введення в теорію функцій комплексного змінного. - К., 2003.

4.Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. – К., 1997.

5.Шафаревич З.О. Теорія чисел. – К., 2000

Характеристики

Список файлов курсовой работы