86165 (612669), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

З (4) треба, що , де N, а при . Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді . Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд: . Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що . Остання рівність справедливо, тому що . Далі, мабуть, , що й завершує доказ.

На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Римана для дійсного аргументу, тому що найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другому розділі.

Розділ 2

Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Римана, були отримані в припущенні, що її аргумент s – дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження й численні важливі додатки стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Уперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Риман, що глибоко вивчив її властивості й широко застосовував її в теорії чисел. На честь його функція одержала свою назву.

Для комплексної дзета-функції залишається в силі визначення, дане в главі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. Із цією метою доведемо наступне твердження: у напівплощині ( дійсна частина числа x) ряд

(1) сходиться абсолютно.

Нехай . Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1), . Перший множник містить тільки речовинні числа й , тому що . До другого ж множника застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо . Виходить, . Через збіжність ряду при α>1, маємо абсолютну збіжність ряду (1).

На своїй області визначення дзета-функція аналітична. Дійсно, при всякому q>0 і фіксованому α>1+q, числовий ряд мажорирує ряд з абсолютних величин , де , звідки, по теоремі Вейерштраса, треба рівномірна збіжність ряду в напівплощині . Сума ж рівномірно збіжного ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією.

Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Доказу перетерплюють незначні перетворення, пов'язані з переходом до абсолютних величин.

У зв'язку із цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції в добуток , де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що . Застосуємо його до доказу відсутності у функції корінь.

Оцінимо величину , використовуючи властивість модуля : , де як звичайно . Тому що , те , а , отже, дзета-функція в нуль не звертається.

Питання про нулі дзета-функції, а також інші прикладні питання одержують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції й виведемо її функціональне рівняння, що характеризує й однозначно визначальне .

Для цього нам знадобиться формула

(2), що виводиться в такий спосіб. Використовуючи властивості інтегралів можна записати . Для будь-якого d при , значить і , а . . Отже, . Інтеграл можна знайти інтегруванням вроздріб, приймаючи , ; тоді , а . У результаті . Віднімемо із цього інтеграла попередній і одержимо , звідси легко треба рівність (2).

Тепер покладемо в (2) , , a і b – цілі позитивні числа. Тоді . Нехай спочатку , приймемо a=1, а b спрямуємо до нескінченності. Одержимо . Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:

(3).

Вираження є обмеженим, тому що , а функція абсолютно інтегрувальна на проміжку при , тобто при , . Виходить, інтеграл абсолютно сходиться при , причому рівномірно в будь-якій кінцевій області, що лежить у комплексній площині праворуч від прямої . Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s, регулярну при . Тому права частина рівності (3) являє собою аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину й має там лише один простий полюс у крапці з відрахуванням, рівним одиниці.

Для можна перетворити вираження (3) дзета-функції. При маємо , виходить, і . Тепер при (3) може бути записане у вигляді .

Небагато більше складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину . Покладемо , а , тобто первісна для . обмежено, тому що , а інтеграл і обмежений через те, що . Розглянемо інтеграл при x₁>x₂ і . Інтегруємо його вроздріб, прийнявши , , тоді , а по зазначеному вище твердженню . Одержуємо . Візьмемо , а . Маємо , , тому що є обмеженою функцією. Виходить,

(4).

Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла , якщо , і обмеженістю функції , робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при . Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію й на напівплощину правіше прямій .

Неважко встановити, що для негативних , тому з (3) маємо

(5) при .

З теорії рядів Фур'є відомо, що для нецілих значень x справедливе розкладання в ряд

(6).

Підставимо його в рівність (5) і інтегруємо ряд:

. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку , звідси треба , а , і одержимо далі . Відомо, що , значить . З відомого співвідношення для гамма-функції , по формулі доповнення , отже

Отже, ми одержали функціональне рівняння дзета-функції Римана

(7),

яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, тому що цілком характеризує її, у тому розумінні, що будь-яка інша функція , що задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна с.

Поки, щоправда, як треба з міркувань, ми довели формулу (7) для . Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при . Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при .

Щоб доказ був строгим, ми повинні ще обґрунтувати по членне інтегрування. Оскільки ряд (6) сходяться майже всюди і його часткові суми залишаються обмеженими, по членне інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку припустимо. Через для кожного , залишається довести, що при . Але інтегруючи внутрішній інтеграл вроздріб маємо

. Звідси без праці виходить наше твердження.

Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1-s, одержуємо рівносильну рівність

(8). З нього можна одержати два невеликих наслідки.

Підставимо в (8) замість s число 2m, де m – натуральне число. Маємо . По формулі (4) першого розділу , а , тому й зробивши в правій частині всі скорочення, з огляду на, що , одержимо .

Покажемо ще, що . Для цього логарифмуємо рівність (8): і результат диференціюємо . В околиці крапки s=1 , , , де З – постійна Ейлера, а k – довільна постійна. Отже, спрямовуючи s до одиниці, одержимо , тобто . Знову з формули (4) глави 1 при k=0 , виходить, дійсно, .

Розділ 3

Як уже було сказано, дзета-функція Римана широко застосовується в математичному аналізі. Однак найбільше повно важливість її виявляється в теорії чисел, де вона надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел у натуральному ряді. На жаль, розповідь про серйозні й нетривіальні застосування дзета-функції Римана виходить за рамки цієї роботи. Але щоб хоча б небагато представити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих тверджень.

Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Самий знаменитий елементарний доказ належить Евклиду. Воно полягає в наступному. Припустимо, що існує кінцеве число простих чисел, позначимо їх p₁, p₂, … , p_n... Розглянемо число p₁p₂…p_n+1,воно не ділиться на жодне із простих і не збігається з жодним з них, тобто є простим числом, відмінним від вищевказаних, що суперечить припущенню. Виходить, кількість простих чисел не може бути кінцевим.

Інший доказ цього факту, що використовує дзета-функцію, було дано Ейлером. Розглянемо дане в першому розділі рівність (5) при s=1, одержимо , звідси й через гармонійний ряд, маємо при

(1). Якби кількість простих чисел бути кінцевим, то й цьому добутку мало кінцеве значення. Однак, отриманий результат свідчить про зворотний. Доказ завершений.

Тепер перепишемо (1) у вигляді . Опираючись на теорему про збіжність нескінченного добутку, з попереднього робимо висновок, що ряд розходиться. Ця пропозиція дає деяку характеристику росту простих чисел. Підкреслимо, що воно набагато сильніше твердження про гармонійний ряд, тому що тут мова йде лише про частину його членів, тим більше що в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: , , … , ...

Незважаючи на свою простоту наведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, тому що вони починають низку досліджень усе більше й більше глибоких властивостей ряду простих чисел, що триває донині. Спочатку, основною метою вивчення дзета-функції саме й було дослідження функції , тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, що зв'язує й , ми зараз одержимо рівність

(2).

Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функції в добуток: . З логарифмічного ряду , з огляду на, що , приходимо до ряду . Виходить, .

Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Тому що при , те . У внутрішньому інтегралі покладемо , тоді й , звідси .У проміжку інтегрування , тому вірно розкладання й . Одержуємо . Тепер . Якщо зрівняти отримане значення інтеграла з поруч для , то побачимо, що вони тотожні й рівність (2) доведено.

Використовуємо формулу (2) для доказу однієї дуже серйозної й важливої теореми, а саме одержимо закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що .

Характеристики

Список файлов курсовой работы