86089 (612639), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Означення. Кільце L називається простим розширенням кільця K за допомогою елемента u, якщо виконуються умови:

(1) K – підкільце кільця L;

(2) будь-який елемент a з L можна подати у вигляді

a=₀+₁u+ … +_nuⁿ, де ₀, ₁,…, _n K.

Запис L= K[u] означає, що кільце L є просте розширення кільця K за допомогою елемента u.

У цьому випадку основну множину кільця L позначають також через К[u], L=K[u]

Означення. Кільце L=K[u] називається простим трансцендентним розширенням кільця K, якщо виконується наступна умова:

(3) для будь-яких елементів ₀, ₁,…, _n множини К з рівності ₀+₁u+ … +_nuⁿ=0 випливають рівності ₀=0, ₁=0,…, _n=0.

Якщо L=K[u] – просте розширення кільця K с допомогою u і u задовольняє умовам (3), то елемент u називається трансцендентним відносно K.

Якщо K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u, то кільце K[u] називається також кільцем поліномів від u над K, а елементи кільця K[u] – поліномами від u над K чи поліномами над K.

Твердження. Нехай K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u. Тоді для будь-якого елемента а кільця K[u], якщо а=₀+₁u+ … +_nuⁿ і а=₀+₁u+ … +_nuⁿ, де _i, _iK, то _i=_i,

то _i=_i для i=1,2,…, n.

Доведення.

Якщо

а=₀+₁u+ … +_nuⁿ=₀+₁u+ … +_nuⁿ (_i, _iK),

то ₀–₀+(₁–₁) u+ … +(_n–_n) uⁿ=0.

За умовою, елемент u являється трансцендентним відносно K. Тому з (1) випливають рівності _і–_і=0 і _і=_і для і=0,1,…, n.

Доведено.

Задачі

№1

Перевіримо, чи є кільцем множина К всіх многочленів з кільця Z[x], в яких вільний член ділиться на 5.

Розв’язання.

Нехай f(x)=a_nxⁿ+ … +a₁x+5a₀,

g(x)=b_mx^m+ … +b₁x+5b₀, mn.

Тоді

f(x)+g(x)=b_mx^m+ … +(a_n+b_n) xⁿ+ … +(a₁+b₁) x+(5a₀+5b₀)=b_mx^m+ … +(a_n+b_n) xⁿ+ … + +(a₁+b₁) x+5 (a₀+b₀),

f(x) – g(x)=(–b_m) x^m+ … +(a_n–b_n) xⁿ+ … +(a₁–b₁) x+5 (a₀–b₀),

f(x)·g(x)=a_nb_mx^n+m+ … +(5a₁b₀+5a₀b₁)+5·5a₀b₀.

Це означає, що f(x)+g(x), f(x) – g(x) і f(x)·g(x) також є елементами множини К. Отже, К є підкільцем кільця Z[x].

Відповідь: Множина К утворює кільце.

№2

Довести, що для кожного многочлена f(x) з кільця Z[x] і для будь–яких цілих чисел a і b число f (a+ )+f (a– ) є цілим.

Доведення.

Многочлени f (a+ ) та f (a– ) мають такий вигляд

f (a+ ) =a_n(a+ )ⁿ+ … +a₁(a+ )+a₀,

f (a– ) =a_n(a– )ⁿ+ … +a₁(a– )+a₀.

Коли ми будемо додавати f (a+ )+f (a– ) і підносити до степеня, то всі знищаться і залишаться лише цілі числа. Ми прийшли до того, що нам потрібно довести.

Доведено.

3.2.2 Факторіальність кільця поліномів

Теорема. Якщо кільце К факторіальне, то і кільце поліномів К[x] факторіальне.

Доведення.

Нехай К – факторіальне кільце. Доведемо, що будь-який відмінний від нуля необоротний елемент кільця К[x] однозначно з точністю до порядку співмножників і оборотних множників розкладемо в добуток простих множників в K[x]. Спочатку доведемо можливість розкладання на прості множники. Нехай f – довільний ненульовий поліном з K[х]. Якщо f – поліном нульового ступеня, то fК. Оскільки кільце K факторіальне, поліном f можна подати у вигляді добутку простих множників у К і, значить, у К[x].Припустимо, що deg f =n>0, і всякий поліном, ступінь якого менше n, розкладемо в добуток простих множників. Нехай

(1) f=dg(x),

де dK, g(x) – поліном позитивного степеня, примітивний в К[х]. Якщо поліном g незвідний над К, то, розкладаючи в (1) множник а на прості множники, одержимо розкладання f на прості множники. Якщо ж поліном g(х) звідний в К[х], то його можна подати у вигляді добутку двох поліномів позитивного степеня, меншого, ніж n: g(x)=h(x)(x).По індуктивному припущенню, h(х) і (х) можна подати у вигляді добутку простих множників у К[x]. Отже, g, а в силу (1) і f також можна подати у вигляді добутку простих множників.

Доведемо єдиність розкладу. Нехай дані будь-які два розклади f на прості множники в K[x]:

(2) f=p₁…p_kq₁…q_s=p₁…p_rq₁…q_t,

де p_i, p_iK, q_i, q_i – незвідні, а виходить, і примітивні поліноми позитивного степеня. З (2) випливає, що

(3) p₁…p_k ~p₁…p_r в K;

(4) q₁…q_s~q₁…q_t в K[x].

Оскільки кільце K факторіальне, то з (3) випливає, що k=r і при відповідній нумерації

(5) p_i~p_i в K для i=1, 2, …, k

Далі, за наслідком 3.6, поліноми q_i і q_i незвідні в кільці F[х]. У силу факторіальності кільця F[х] з (4) випливає, що s=t і при відповідній нумерації

q_i~ q_i в F[х] для i=1,…, s.

Поліноми q_i і q_i незвідні в K[x] і, значить, примітивні в K[х], крім того, ці поліноми асоційовані в F[x]. Отже, вони асоційовані в K[x],

(6) q_i~ q_i в K[х] для i=1,…, s.

У силу (5) і (6) поліном f має однозначний розклад на прості множники в кільці K[x]. Отже, показано, що кільце K[x] факторіальне.

Доведено.

Задачі

№1

Довести, що множина I всіх многочленів кільця Z[x], вільний член яких дорівнює парному числу, є ідеалом Z[x]. Чи є цей ідеал головним?

Розв’язання.

Очевидно, що ця множина замкнена відносно віднімання та множення на довільний елемент кільця. Отже, ця множина буде ідеалом.

Візьмемо будь–які елементи

x²+4I, x+2I.

Перевіримо чи x²+4x+2.

x²+4=x²–4+8=(x-2) (x+2)+8.

Так як x²+4 не ділиться на x+2 то дана множина I не буде головним ідеалом.

Відповідь: Множина I буде ідеалом, але не головним.

№2

Знайти НСД і НСК таких многочленів:

f(x)=x⁴+2x³–2x-1,

g(x)=(x+1) (x²–x-2)

в кільці Q[x].

Розв’язання.

Розкладемо дані многочлени на множники:

f(x)=x⁴–1+2x(x²–1)=(x²–1) (x²+2x+1)=(x+1)³(x-1),

g(x)=(x+1) (x-2) (x+1)=(x+1)²(x-2).

Очевидно, що

(f, g)=(x+1)²,

[f, g]=(x+1)³(x-1) (x-2).

Відповідь: (f, g)=(x+1)², [f, g]=(x+1)³(x-1) (x-2).

№3

Розкласти на незвідні в полі P множники такий многочлен:

f(x)=x⁴–2x³–27x²–44x+7.

Розв’язання.

Розклад матиме такий вигляд:

f(x)=(x²+bx+1) (x²+cx+7).

f(x)=x⁴+(c+b) x³+(bc+8) x²+(7b+c) x+7.

с=–2-b,

(–2-b) b=–35,

– b²–2b=–35,

b²+2b-35=0,

Отже, даний многочлен розкладається таким чином:

f(x)=(x²–7x+1) (x²+5x+7).

Відповідь: f(x)=(x²–7x+1) (x²+5x+7).

3.3 Кільце многочленів від кількох змінних

3.3.1 Поняття кільця многочленів від кількох змінних

Означення Кільцем многочленів R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] від n змінних х₁, х₂,…, x_n-1, х_n над областю цілісності R називається кільце многочленів від змінної x_n над кільцем R[х₁, х₂,…, x_n-1] тобто

R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] = R[х₁, х₂,…, x_n-1] [x_n] (4)

Це означення має індуктивний характер. При п=1 воно зводиться до означення кільця многочленів від однієї змінної х₁ над областю цілісності R (природно вважати, що при п =1 R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] =R). Якщо ж уже означено кільце R[х₁, х₂,…, x_n-1] при п 1, то за допомогою (4) дістаємо означення кільця R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n]. Отже, для довільного натурального п означено кільце многочленів від п змінних х₁, х₂,…, x_n-1, х_n

Теорема Кільце многочленів R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] над областю цілісності R є область цілісності.

Доведення.

Твердження правильне при п = 1. Припустимо, що воно правильне при п = т і розглянемо кільце R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1]. Згідно з означенням 1, R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1] є кільце многочленів над R_m= R[х₁, х₂,…, x_m]. За припущенням індукції, R, є область цілісності. Отже, R_m[x_m+1]=R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1] є область цілісності. За принципом індукції, R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] є область цілісності при довільному натуральному п.

Доведено.

Зрозуміло, що коли R – область цілісності з одиницею, то R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] – область цілісності з одиницею.

Наступна теорема встановлює будову елементів області цілісності R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n].

Теорема 2. Кожний елемент fR [х₁, х₂,…, x_n-1, х_n] можна подати у вигляді скінченної суми

A_iR, k_ijZ₊ (5)

Навпаки, будь-який вираз виду (5) є елементом кільця R[х₁, х₂,…, x_n-1, х_n].

Доведення

Доведення проведемо індукцією по n. При n=1 твердження правильне. Припустимо, що воно правильне при n=m і перевіримо його правильність при n=m+1. За означенням 1, кожний елемент fR [х₁, х₂,…, x_m, х_m+1] є многочлен від Х_m=1 над областю цілісності R [х₁, х₂,…, x_m], і тому його можна подати у вигляді суми

(6)

За припущенням індукції, кожний многочлен a_j(x₁, …, x_m) від n змінних можна подати у вигляді скінченної суми

, (7)

,

(i=1, 2, …, N_j; s=1, 2, …, m; j=0, 1, 2, …, l).

Підставивши вираз (7) в (6) і виконавши відповідні дії (в розумінні дій у кільці R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1] з урахуванням того, що воно містить R[х₁, х₂,…, x_m] як підкільце), дістанемо скінченну суму виду

, (8)

де B_rR (r=1, …, N), бо кожне B_r є якесь з .

Навпаки, кожна сума виду (8) є елемент кільця R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1]: адже будь-який її доданок може розглядатись як многочлен від x_m+1 з коефіцієнтом R[х₁, х₂,…, x_m] й тому й уся сума належить кільцю R[х₁, х₂,…, x_m, х_m+1].

Отже, твердження теореми правильне і при n=m+1, тобто за принципом математичної індукції теорему доведено.

Доведено.

Характеристики

Список файлов курсовой работы