86089 (612639), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Перейдемо тепер до вивчення кілець головних ідеалів.

Означення. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний.

Найпростішим прикладом кілець головних ідеалів є кільце цілих чисел Z: кільце Z, як відомо, є область цілісності з 1 і, за теоремою, кожен його ідеал головний.

Кожне поле Р є кільце головних ідеалів. Справді, поле Р є областю цілісності з одиницею; якщо U є ненульовий ідеал поля Р, то разом з будь-яким своїм елементом а ≠ 0 він містить і елемент аa^-1 = 1 і, отже, U = (1). Кільцем головних ідеалів є також кільце многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля Р.

Звичайно, не кожна область цілісності з одиницею є кільцем головних ідеалів. Нижче ми наведемо приклади таких областей цілісності. А тепер займемося вивченням властивостей кілець головних ідеалів. Всюди далі вважатимемо, що R – кільце головних ідеалів.

Теорема 1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R.

Доведення.

Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна. Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал (а, b), який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал (а, b) є головний, тобто породжується деяким елементом dR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sR), (2)

а = gd, b = hd (g, hR). (3)

З рівностей (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності ж (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, а = (а, b).

Доведено.

Спираючись на теорему 1, доведемо твердження, яке є критерієм взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.

Теорема 2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1.

Доведення.

Необхідність умови очевидна: якщо а і b – взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. Доведемо достатність умови. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості.

Доведено.

Теорема 3. Якщо елемент аR взаємно простий з кожним із елементів bR і сК, то він взаємно простий і з добутком цих елементів.

Доведення.

Оскільки а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2, існують такі r, sR, що

rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно прості.

Теорема 4. Якщо добуток елементів aR і bR ділиться на елемент с R, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а R ділиться на кожен з елементів bR і сR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а с, то bg с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент = 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів = a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння • = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠ , то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb b (тоd p),

і, отже, • = . Таким чином, = є розв'язком рівняння = .

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рR, то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a₁ • а₂ •… • a_s (a_iR) ділиться на нерозкладний елемент р R, тобто що a₁а_2… а_s (р).

Розглянемо елементи a_i = а_i+(р) (і =1, 2,…. s) і = a₁ a₂ …a_s+(р). За означенням операції множення в кільці R/(р) = Оскільки a₁ a₂ …a_s(р), то = і, отже, = Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р) є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) = . Але = означає, що a_m(p), тобто що a_m р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀ U₁ U₂ …U_N …. (4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aєb і bєb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mb, (а – b)єU_mb і для будь-якого rєR arєU_mb. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема 7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁ та a₁₂–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r – деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)(a₁)(a₁₁)(a₁₁₁)…,

а це суперечить доведеній вище лемі. Отже, наше припущення неправильне.

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 8. Якщо

a =p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i=ε_i p_i (і == 1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁q₂…q_s

може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то

p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Ми вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=₁p₁, де ₁ – деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) ₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо:

p₂p₃…p_r =(₁q₂) q₃…q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r– 1 == s– 1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r:

q₂=₁q₂=₂p_2, q₃=₃p₃, …, q_r=_rp_r,

де _i – деякі дільники одиниці кільця R. Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁, q₂, …, q_r:

q₁=₁p₁, q₂=₁^–1₂p₂ =₂p_2, q₃=₃p₃, …, q_r=_rp_r

Доведено.

Зауважимо, що теореми 7 і 8 справедливі, зокрема, для кільця цілих чисел, яке є кільцем головних ідеалів.

Постає запитання: чи не можна теореми 7 і 8 поширити на клас областей цілісності більш широкий, ніж кільце головних ідеалів? Відповідь на це запитання в загальному випадку негативна. Є області цілісності, в яких не справджується теорема про розклад елементів області цілісності в добутки простих множників, а також області цілісності, в яких розклад елементів на прості множники хоч і можливий, але не однозначний. Наведемо приклади таких областей цілісності, не вивчаючи її докладно.

Нехай К – множина всіх дійсних чисел виду

Характеристики

Список файлов курсовой работы