Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доведення.

Справді, сума (а₁ +b₁) + (a₂+ b₂) будь-яких двох елементів a₁+b₁ і a₂+b₂ множини a+b належить до a+b, оскільки (a₁+a₂)a, (b₁+b₂) b, і елемент – (а+b) = (–а) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b)(a+b), також належить до a+b, бо (–a)a, (–b)b.

Отже, а + b є підгрупа адитивної групи кільця K. Крім того, для будь-яких елементів a+ba+b і хK x (a+b)=xa+xba+b і (a+b) x=ax+bxa+b.

Цим теорему доведено.

Теорема 3. Добуток ab ідеалів а і b кільця К. також є ідеал кільця К.

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу ab, належить до ab. Крім того, для будь-яких

ab і xK ab й ab.

Цим теорему доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів – асоціативна і комутативна, а операція множення – асоціативна. Якщо кільце К – комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.

Задачі

№1

Нехай K₁ – підкільце кільця K. Довести, що K₁I –ідеал кільця K₁.

Доведення.

Введемо позначення D=K₁I. Покажемо спочатку, що ідеал I, як і будь–який ідеал, містить нуль–елемент кільця K. Справді, оскільки I≠Ø, то в I існує хоч один елемент а. Тоді згідно з першим пунктом означення ідеалу, елемент а–а, тобто 0, теж належить ідеалу I. Оскільки 0K₁, 0I, то 0D і тому D≠Ø.

Якщо a, bD, то a, bK₁ і a, bI. Згідно з означенням ідеалу і критерієм підкільця, abI, abK₁, а тому abD.

Нехай aD, bK₁. Покажемо, що ab і ba належать D. Справді, оскільки DK₁, то a, bK₁ і за критерієм підкільця K₁ маємо, що

ab, ba K₁. (1)

Оскільки DI, а I – ідеал кільця K, то для будь–якого елемента aDI і будь–якого елемента bK₁K маємо, що

ab, baI. (2)

З включень (1) і (2) випливає, що

ab, baK₁I=D.

Отже, D=K₁I –ідеал кільця K₁.

Доведено.

№2

Чи є ідеалом (лівим або правим) така підмножина

в кільці M (2, Z).

Розв’язання

Перевіримо чи буде множина S лівим ідеалом

Перевіримо множення з ліва

Отже, дана підмножина лівим ідеалом кільця M (2, Z).

Перевіримо чи буде правим ідеалом

Отже правим ідеалом буде.

Відповідь: є правим ідеалом.

3. Факторіальні кільця

3.1 Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

3.1.1 Подільність в області цілісності

В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Ці кільця дістали назву кілець головних ідеалів. Вивченням їх ми і будемо займатись. Але спочатку викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.

Нехай R – область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення 1. Якщо для елементів а і b області цілісності R в R існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно а b; b/а або а == 0 (mod b).

Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

З означення 1 випливають такі властивості подільності в області цілісності:

1. (a, b, cR) [a bb ca c].

2. (a, b, cR) [a cb c(a+b) c (a-b) c].

3. (a, b, cR) [a b ac b].

4. (a_1, b_1, a_2, b_2,…, a_n, b_n, c R) [a₁ ca₂ c … a_n c (a₁b₁ +a₂ b₂ + … + +a_n b_n) c].

Ці властивості, як легко бачити, є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.

5. Кожен елемент а R ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε^-1а) і, отже, ε/а.

6. Якщо а R ділиться на b R, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == bε (ε^-1с) і, отже, bε/а.

7. Кожен з дільників одного з елементів а R і aε R де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності а = сg випливає рівність aε == с (εg), а з рівності аε = сq – рівність а == с (ε^-1q). Отже, якщо с/а, то с/аε, і навпаки.

Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R, відмінні від нуля.

Означення 2. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε^-1.

Означення 2'. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо b= аε, де ε – деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і – т.

Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) (b) і (b) (а) і, отже, (а) = (b).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Нехай а і b – довільні елементи області цілісності R.

Означення 3. Елемент сR називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.

Означення 4. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).

Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ε – будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ε, що є дільником одиниці.

Означення 5. Елементи а, bR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.

Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R. Тоді а = аε• ε^-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними – числа ±2, ±5.

Означення 6. Елемент аR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.

Інакше кажучи, елемент аR називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший – асоційований з а. Так, у кільці цілих чисел Z нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1, – розкладні.

Наведемо такі дві властивості нерозкладних елементів.

1. Якщо елемент рR нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент рε також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R.

2. Якщо а – будь-який, а р – нерозкладний елемент з R, то або а ділиться на р, або а і р – взаємно прості.

Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ε одиниці, або елемент вигляду рε. У першому випадку а і р взаємно прості, в другому – а ділиться на р.

Задачі

№1

Довести, що (-8+3 ) (1+2 ) в кільці z [ ].

Доведення.

Поділимо ці гаусові числа, домноживши чисельник і знаменник частки на число спряжене із знаменником

.

Так як 2– Z[ ], то (-8+3 ) (1+2 ).

Доведено.

№2

Довести, що в області цілісності К елементи 25–17 і 7- асоційовані, якщо К=z[ ].

Доведення.

Асоційованість доводиться тим, що одне число ділиться на друге і навпаки.

Оскільки 3–2 Z[ ], то (25–17 )(7- ).

Бачимо, що і (7- )(25–17 ).

Отже, дані елементи асоційовані.

Доведено.

№3

Довести, що характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведення.

Нехай K – область цілісності, а е – одиниця кільця К. Якщо me≠0 для жодного натурального числа m₁, то характеристика кільця K дорівнює нулю.

Нехай тепер me=0 і m найменше натуральне число, що має цю властивість, тобто m – характеристика кільця K. Тоді m≠1, оскільки е≠0. Якщо m просте число, то твердження задачі доведено.

Нехай m складене число. Тоді існують натуральні числа s і t такі, що 1

0=me=(st) e=(se) (te).

Крім того, оскільки m – характеристика кільця K і s

Тому характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведено.

3.1.2 Кільце головних ідеалів

Характеристики

Список файлов курсовой работы