86069 (612630), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

f ^–1(U) = О₁ О₂, О₁ ∩ О₂ = ,

где О₁ и О₂ – непустые открытые в f ^–1(U) множества.

Слой f ^–1(y) связен и f ^–1(y) f ^–1(U), отсюда, f ^–1(y) содержится либо в О₁, либо в О₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х₁О₁. Образ этой точки f (x₁) = y₁ U. По условию, слой f ^–1(y₁) связен и f ^–1(y₁) О₁ О₂ = f ^–1(U). Поскольку О₁ ∩ О₂ = и х₁О₁, следовательно (по теореме 1.4), f ^–1(y₁) О₁. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О₁, то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х₁ произвольная, то О₁ = f ^–1( f (O₁)). Аналогично доказывается, что О₂ = f ^–1(f (O₂)).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f ^–1(Oy) Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O₁) = g (O₁) и f (O₂) = g (O₂) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O₁) f (O₂), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U.

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, Z X замкнуто в Х. Подотображение g = f |_Z : Z Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, T Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f ^–1(T) T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] R, для которого f (х) = 0 при любом х [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f ^–1(y) над точкой y = 0 связен. Но f ^–1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1] [2;3] R задано условием f (х) = 0 для любого х [-1;1] [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f ^–1(0) = [-1;1] [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X) = Y и Х связно, то Y связно.

Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О₁ и О₂, что О₁ О₂ = Х. Допустим, что найдётся точка y . Тогда в любой окрестности слоя f ^–1(y) содержаться как точки множества О₁, так и точки множества О₂. С другой стороны, f ^–1(y) f ^–1(U), где трубка f ^–1(U) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y) и должна содержаться либо в О₁, либо в О₂ (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

= ,

т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О₁) f (О₂) = Y, значит,

= f (О₁) и = f (О₂),

т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать.

Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.

П

Рис. 1.

Рис. 2.

римеры. Пусть отображение f : X→Y непрерывно. Если пространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f не обязано быть связным. А именно, пусть f : R [0; + ], и f (х) = х ² для любого х R (рис. 1). Расмотрим произвольную точку y (0; + ). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b) (0; + ), содержащий эту точку. Тогда трубка

f ^–1(U) =

распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f ^–1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.

Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть pr_X : ω → [– b; b] – проекция этого кольца на ось Ox, где pr_X (x; y) = х [– b; b] для любой точки (x; y) ω. Возьмём произвольную точку х (– a; a) [– b; b]. Для любой окрестности U (– a; a) точки х трубка является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция pr_X – является несвязным отображением.

М

Рис. 3.

Рис. 4.

ожет быть и наоборот, отображение f связное, а пространства X и Y – несвязные.

Пусть, например, отображение f : R \ {0} R \ {0} задано формулой f (х) = для любого х R \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y R \ {0}. Для любой окрестности Oy R \ {0} точки y найдётся связная окрестность U (0; + ) (или U (– ; 0)), трубка f ^–1(U) над которой связна (т.к. f ^–1(U) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1] [2; 3]. Рассмотрим проекцию : X Y Y (рис. 4), где pr_Y (x; y) = y Y для любой точки (x; y) X Y. Множества X Y и Y являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х [a; b], где х х, выполняется только одно из двух свойств: f (x) f (x ) либо f (x) f (x ).

Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.

Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х₁, х₂, х₃ [a; b] и х₁ < х₂ < х₃, для которых выполняется система неревенств:

.

П

Рис. 5.

Рис. 6.

оложим f (x₁) = y₁, f (x₂) = y₂, f (x₃) = y₃ и y₃ y₁ (или y₁ y₃). Тогда слой f ^–1(y₃) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y₃ (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х [x₁; x₂) и f (x ) = y₃. В силу связности слоя f ^–1(y₃), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f ^–1(y₃). Но точка (x₂; y₂), где x < x₂ < x₃, не принадлежит прямой y = y₃, поэтому слой f ^–1(y₃) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f ^–1(y₃) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.

Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно, f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y R, что слой f ^–1(y) – несвязен, т.е. f ^–1(y) = О₁ О₂, где О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные замкнутые в f ^–1(y) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x₁ О₁, x₂ О₂ и точка х, где x₁ < x < x₂ и x О₁, x О₂, что

.

Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной.

Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.

Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.

2.4. Произведения пространств и проекции

Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями _Х и _Y соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X Y с топологией _{Х Y}, образованной семейством всех множеств вида

U V = ,

и их всевозможных объединений, где U _Х, V _Y и : X Y Х, : X Y Y – это проекции, причём (x; y) = x и (x; y) = y. Множества вида U V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.

Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Х образ f (О) является открытым множеством в Y.

Лемма 2.2. Проекции : X Y Х и : X Y Y являются непрерывными открытыми отображениями.

Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества = G Y по определению топологии произведения открыт в X Y. Тогда проекции и будут непрерывными отображениями.

Пусть точка z X Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность

Рис. 7

т

Рис. 7.

Рис. 7.

очки z, где U – окрестность точки , V – окрестность точки . Точка является внутренней точкой множества U, а значит и множества . Аналогично, точка – внутренняя точка множества . Следовательно, множества и открытые, и проекции и – открытые отображения.

Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция : X Y Y является замкнутым отображением.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Y и рассмотрим слой = {(x; y): x X} = X {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x; y) слоя X Y и её элементарную окрестность

G ,

где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть – это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём О, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть

U = ,

где О_{i j} = (G_{i j}). Тогда

О,

т.е. проекция является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением.

Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция : X Y Y является связным отображением.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой = = Y {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому слой также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох точки х, что трубка является несвязной для всякой окрестности U Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U. Для неё найдутся непустые открытые в множества О₁ и О₂, что О₁ ∩ О₂ = и О₁ О₂ = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О₁, либо в О₂.

Рассмотрим произвольную точку w₁ О₁. Образ этой точки = х₁ U. Слой О₁ О₂ = , и точка w₁ принадлежит множеству О₁ и слою , поэтому О₁ (т.к. О₁ ∩ О₂ = ). Поскольку w₁ – произвольная точка множества О₁, то . Аналогично, .

Множества О₁ и О₂ дизъюнктные открытые в и – открытое отображение. Следовательно, (O₁) и (O₂) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O₁) (O₂) = U. Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция является связным отображением.

Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X Y является связным множеством.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X Y несвязное, т.е. X Y = О₁ О₂, где О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные открытые в X Y множества.

Возьмём произвольную точку z О₁. Образ этой точки (z) = x. Слой О₁ О₂ связен, и точка х О₁, следовательно, О₁ (так как О₁ О₂ = ). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные открытые в X Y, и отображение – открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные открытые в Y и = Y. Это противоречит связности Y.

Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X Y Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X Y – связное множество.

Определение 19. Отображение f : X Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X Y F пространства Х в топологическое произведение Y F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y F и)

f = pr_Y i,

где pr_Y : Y F Y – проекция на сомножитель Y.

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.

Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции pr_Y : Y F Y. Пусть y Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Oy точки у трубка f ^–1(U) несвязна. Положим f ^–1(U) = О₁ О₂, где О₁, О₂ – непустые дизъюнктные открытые в f ^–1(U) множества и U Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y.

Пусть х f ^–1(y). Тогда х О₁ или х О₂. Допустим х О₁. Найдётся такое открытое в Y F множество G₁, что О₁ = G₁ X. По определению топологии, в Y F найдутся окрестность V_x U точки y и открытое в F множество W такие, что

х = V_x W G₁.

Так как множество f ^–1(y) – связное по условию, то х f ^–1(y) О₁.

Пусть х – произвольная точка из (V_x W) Х. Тогда х О₁ и

f ^–1(f (x )) О₁.

Следовательно, О₁ содержит всякий слой f ^–1(y ), где y V_x (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х О₁ найдётся окрестность V_x U точки f (x), что х f ^–1(V_x ) О₁. Поэтому

.

Следовательно, множество является окрестностью точки y и O₁ = f ^–1(V₁). Аналогично устанавливается, что O₂ = f ^–1(V₂), где V₂ непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V₁ V₂, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y.

П

Рис.8.

ример. Если отображение f : X Y связное над точкой y, то слой f ^–1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = pr_Y : X Y Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = Y и слой f ^–1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) X Y, где х = , y = . Тогда слой f ^–1(y) \ {z} – несвязное множество. Отображение f = pr_Y при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f ^–1(U) – линейно связна, следовательно, трубка f ^–1(U) – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f : X Y и g : Z Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f g этих отображений называется отображение h : Т Y, где

и

.

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X Y и g : Z Y послойно связные. Тогда произведение h = f g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g : X Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Х \ Т.

Возьмём произвольную точку x X \ Т. Тогда f (x) = y₁ Y, g(x) = y₂ Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy₁ точки y₁ и Оy₂ точки y₂ такие, что

Оy₁ Оy₂ = . {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f ^–1(Oy₁), g^–1(Oy₂) – открытые в Y и x f ^–1(Oy₁), x g^–1(Oy₂). Рассмотрим окрестность Ох = f ^–1(Oy₁) g^–1(Oy₂) точки х. Предположим, что Ох Т ≠ , т.е. существует такая точка х₁ Ох, что f (x₁) = g (x₁) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy₁, так и окрестности Oy₂, что противоречит условию {*}.

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω = – открытое покрытие пространства X Y. Рассмотрим слой

= Y {x}.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω(х) = Ω,

(где U(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) = . Объединение

U(x) = (x) (**)

есть открытое множество, содержащее слой , и pr_X – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что U(x). Семейство {Оx: x X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Ox_i : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω = образует конечное подпокрытие пространства X Y.

Теорема 2.10. Пусть f : X Y и g : Z Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения, ( , – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f g является связным.

Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X Y является хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z₁ и z₂ – произвольные фиксированные точки пространства X Y. Рассмотрим точки x₁ = pr_X (z₁), x₂ = pr_X (z₂) и y₁ = pr_Y (z₁), y₂ = pr_Y (z₂) пространств X и Y соответственно. Точки z₁ и z₂ различны, следовательно, x₁ x₂ или y₁ y₂. Пусть y₁ y₂. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy₁ и Oy₂ точек y₁ и y₂ соответственно, что Oy₁ Oy₂ = . Проекция pr_Y является непрерывным отображением, поэтому множества и – открытые в X Y и непересекающиеся. Причём, z₁ и z₂ . Следовательно, пространство X Y – хаусдорфово по определению.

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f i : T Y отображений f : X Y и i : Y Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f pr_X = i pr_Y = pr_Y}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X Y. Пусть (x₁; y₁) T – произвольная фиксированная точка. Тогда pr_Y (x₁; y₁) = y₁ = f pr_X (x₁; y₁). Отсюда, для точек (x₁; y₁), (x₂; y₂) Т выполняется неравенство pr_X (x₁; y₁) pr_X (x₂; y₂) при х₁ х₂. Следовательно, непрерывное отображение pr_X : Т Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X f (X) X Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = pr_X : T X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т Х, и f = pr_Y . Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g^–1: X T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X Y, и f = pr_Y d. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению.

Литература.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

2. Александров П.С. Геометрия.

3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.

4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.

5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.

23

Характеристики

Список файлов курсовой работы