86069 (612630), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Из (3) следует (4). Пусть трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f ^–1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f ^–1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f ^–1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1(U) {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Y, что для трубки f ^–1(U) над некоторой окрестностью U Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1(U) {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Y.

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f ^–1(y), где y Y, этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X Y и g : Z Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X Z, при котором f = g φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y Y (слой f ^–1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y Y (слой g ^–1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X Y связное над точкой y Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Oy точки y, трубка над которой f ^–1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f ^–1(U) (связного слоя f ^–1(y)) связен, т.е. множество φ(f ^–1(U)) (множество φ( f ^–1(y))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Oy точки y. (Предположим, что слой g ^–1(y) несвязен над точкой y Y).

По условию, f = g φ, следовательно,

f ^–1(U) = (g φ) ^–1(U) = φ ^–1(g^–1(U)).

Отсюда,

φ(f ^–1(U)) = φ(φ^–1(g^–1(U))) =g^–1(U)

(для слоя φ( f ^–1(y)) = g^–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f ^–1(U)) связное (слой φ( f ^–1(y)) связен), а множество g^–1(U) (слой g^–1(y)) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Y (каждый слой f ^–1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Y. Если отображение f связно над этой точкой y Y (слой f ^–1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g^–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Y (послойно связно).

2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yY, если для всякой окрестности О слоя f ^–1(y) Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f ^–1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f ^–1(y):

f ^–1(y) f ^–1(Oy) О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yY.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Y и рассмотрим окрестность О множества f ^–1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f ^–1(y) = . Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f ^–1(Oy) ∩ F = , следовательно, f ^–1(Oy) О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y [f(F) \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f ^–1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f ^–1(Oy) X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = и поэтому точка y [f (F).

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто.

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f ^–1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X Y замкнуто над точкой y Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |_Z : Z Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Y и рассмотрим окрестность U Z слоя g^–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U такое, что U = U Z. Множество O = U (X \ Z) будет окрестностью слоя f ^–1(y) . Отображение f замкнутое над точкой y Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f ^–1(Oy) O. Тогда g^–1(Oy) Z O = Z U = U.

В силу произвольности выбора точки y Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Y.

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X Y замкнуто над точкой y T Y, где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f | : f ^–1(T) T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y T Y и некоторую окрестность О слоя g^–1(y) = f ^–1(y), такую что

O = O' f ^–1(T),

где О – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f ^–1(O'y) О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' T, и f ^–1(Oy) = g^–1(Oy) O' f ^–1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Y.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Y и слой f ^–1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Y.

Доказательство. Поскольку слой f ^–1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f ^–1(y) множества О₁ и О₂, что О₁ ∩ О₂ = и О₁ О₂ = f ^–1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q₁ и Q₂ такие, что

O₁ = Q₁ f ^–1(y), O₂ = Q₂ f ^–1(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х. Их пересечение есть замкнутое множество, и F f ^–1(y) = (т.к. О₁ и О₂ замкнутые в f ^–1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q₁ Q₂) \ F открыто в Х, причём f ^–1(y) О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f ^–1(Oy) О. Пусть G₁ = f ^–1(Oy) Q₁ и G₂ = f ^–1(Oy) Q₂ – открытые в f ^–1(Oy) множества. Так как

Х \ f ^–1(Oy),

то G₁ ∩ G₂ = . Тогда f ^–1(Oy) = G₁ G₂. Следовательно, трубка f ^–1(Oy) несвязна.

Пусть U Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f ^–1(U), и непустые, т.к. О₁ и О₂ . Следовательно, для любой окрестности U Oy трубка f ^–1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Y.

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Y и связно над точкой y. Тогда слой f ^–1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:

Характеристики

Список файлов курсовой работы