86038 (612625), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x² - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8)	x2 - x ≥ x + 8,		x2 - 2x - 8 ≥ 0,
	x+8 > 0,		x > -8,

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x (-8;-2][4;+∞).
		x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Показательные уравнения и неравенства

1. Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению

Пример 1. Решить уравнение

.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

.

Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:

Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

1. Показательные неравенства

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) > g(x).

A.3. Неравенство

равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x),
		0 < h(x) < 1,
		f(x) < g(x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

	h(x) = 1,
	x  D(f); D(g),

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^f(x) < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x D(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) > log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) < log_ab.

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) < log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) > log_ab.

Упражнение 1. Решить неравенства:

a)
b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,
c)

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

которое решается методом интервалов,

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

|2x-3| > |3x+4|,

которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|  (a-b)(a+b) > 0):

|2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

4x2+2x+1 > 1, x2-x > 0, 4x2+2x+1 < 1, 4x2+2x+1 > 0, x2-x < 0

x > 0, x < -12, x > 1, x < 0, x (-12;0), x R, x(0;1).

x (-; -12) (1;+), x

x (-;- 12) (1;+).

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Список литературы

1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970

Характеристики

Список файлов курсовой работы