85792 (612576), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков.

Лемма 1.

Если

(2.4.2)

то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных.

Доказательство.

Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим:

Для уравнений d) и h) процедура аналогична.

Покажем, что в нашем случае условие

является и необходимым.

Лемма 2.

При (2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2).

Для доказательства потребуется следующая лемма 3.

Лемма 3.

Пусть и суть 3x3-матрицы, такие что

, (2.4.3)

тогда либо , либо , где .

Доказательство.

Если , то из следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что должен быть пропорционален вектору .

Докажем теперь предыдущую лемму. Введем величины для . Итак, надо доказать, что . Введем теперь матрицы

(2.4.4)

Перемножение этих матриц с использованием условий (2.4.1) дает

, (2.4.5)

причем

Далее последний столбец не может быть нулевым, так как из того, что , следует

в силу условия h). Таким образом, из последней леммы следует, что . Последнее тождество вытекает из равенства , которое является следствием условий a) и b).

Теорема.

Если выполнены предположения , то уравнения (2.4.1) эквивалентны следующим:

(2.4.6)

Доказательство.

Из j) и h) следует, что

. (2.4.7)

Отсюда, в частности, вытекает, что в силу k) .

Решение уравнений (2.4.6). Уравнения a)-e) и k) выражают тот факт, что коэффициенты и являются весами и узлами квадратурной формулы четвертого порядка при и . В силу (2.4.7) возможны следующие четыре случая:

1) . (2.4.8)

Тогда уравнения a)-e) образуют невырожденную линейную систему для определения . Эта система имеет решение:

Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:

2) ;

3) ;

4) .

После того, как выбраны и , получаем из уравнения j), и тогда два уравнения f) и i) образуют линейную систему для определения и .

Определитель этой системы

,

согласно (2.4.7) не равен нулю. Наконец, из того, что находим , и .

Особенно популярными стали два варианта, которые выбрал Кутта в 1901 году. Это случай 3) при и случай 1) при . Оба метода обобщают классические квадратурные формулы, сохраняя их порядок. Первый из них более популярен, однако второй более точен.

Правило 3/8

Классический метод Рунге-Кутты

1.5 «Оптимальные» формулы

Предпринималось много исследования, чтобы выбрать возможно «лучшие» из множества различных формул Рунге-Кутты 4-го порядка.

Первой попыткой в этом направлении был очень популярный метод, который в 1951 году предложил Гилл. Он преследовал цель уменьшить на сколько возможно количество требуемой машинной памяти («регистров»). Этот метод широко использовался на первых компьютерах в пятидесятых годах и представляет поэтому исторический интерес. Гилл заметил, что больше всего машинной памяти нужно при вычислении , когда «требуются регистры для хранения в какой-либо форме» величин

.

Ясно, что для третьей стадии будет достаточно трех регистров, если подлежащие хранению величины линейно зависимы, то есть если

.

Гилл заметил, что это условие удовлетворяется для методов типа 3), если . Получающийся метод можно в таком случае переформулировать следующим образом:

В настоящее время производительность компьютеров очень сильно возросла по сравнению с машинами 50-х годов, что привело к прекращению использования данного метода на практике при расчетах. Справедливости ради стоит отметить, что этот метод все-таки рационально употреблять в случаях, когда требуется решать системы дифференциальных уравнений очень высокой размерности со сложными функциями.

1.6 Условия порядков для методов Рунге-Кутты

Рассмотрим структуру условий, определяющих порядок метода, или условий порядка, как их называют для краткости. Способ вывода условий порядка прошел большую эволюцию. Он совершенствовался главным образом под влиянием работ Бутчера.

Так как явные методы Рунге-Кутты являются частным случаем неявных, то можем выписать условия, при которых метод имеет заданный порядок.

Метод

(где на свободных местах должны стоять нули) имеет порядок , если удовлетворяется уравнение

Equation Section (Next) (2.6.1)

для каждого дерева с корнем и не более чем с разветвлениями¹.

При эти условия, обеспечивающие порядок 4, и соответствующие деревья имеют следующий вид:

	(2.6.2)
	(2.6.3)
	(2.6.4)
	(2.6.5)
	(2.6.6)
	(2.6.7)
	(2.6.8)
	(2.6.9)

Заметим, что для меньших значений мы берем соответствующее подмножество этих условий, а для меньших оставляем лишь некоторые из указанных членов.

Из (2.9) видим, что действительно необходимо 4 этапа, так как если бы их было меньше, то был бы опущен единственный член в левой части этого уравнения. Для явных методов в общем случае выполняется неравенство . Фактически (для тех значений, для которых это известно) минимальное значение для данного указано в следующей таблице:

	1	2	3	4	5	6	7
	1	2	3	4	6	7	9

Общие классы методов с этими значениями и легко найти в случае .

Для :

0
	1

Это известный метод Эйлера.

Для :

Это однопараметрическое семейство имеет требуемый порядок для любого ненулевого значения .

Для имеется три семейства, из которых первые два таковы:

Каждое из них имеет один параметр . Третье семейство имеет в качестве параметров и , причем

.

Вывод методов с более сложен, но его можно упростить, положив

(2.6.10)

(что влечет равенство ), так как это позволяет опустить уравнения (2.6.3), (2.6.5), (2.6.8) и (2.6.9). Интересно также, что (2.6.10) является следствием (2.6.2) – (2.6.9).

План вывода конкретного метода этого порядка можно выполнить при условии, что не возникает несовместных систем.

Шаг 1. Выбираем значения , и полагаем .

Шаг 2. Из (2.6.2), (2.6.3), (2.6.4) и (2.6.6) находим .

Шаг 3. Из уравнения (это уравнение есть разность уравнений (2.6.5) и (2.6.7)) находим .

Шаг 4. Из (2.6.10) находим .

Шаг 5. Вычисляем .

В случае шаг 2 приводит к выбору и при условии, что , . В частности, имеем известный метод:

1.7 Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты

Со времен работы Лагранжа и особенно Коши всякий установленный численно результат принято сопровождать надежной оценкой погрешности. Лагранж дал известные оценки погрешности многочленов Тейлора, а Коши вывел оценки для погрешности метода ломаных Эйлера. Через несколько лет после первых успехов методов Рунге-Кутты также пришел к заключению, что для этих методов нужны оценки погрешностей².

1.7.1 Строгие оценки погрешности

Способ, которым Рунге получил оценку погрешности, делаемой на одном шаге («локальной погрешности»), может быть описан следующим образом. Для метода порядка рассмотрим локальную погрешность

(2.7.1)

и воспользуемся ее тейлоровским разложением:

, (2.7.2)

где и . Явное вычисление дает выражение вида

, (2.7.3)

где и содержат частные производные до порядков и соответственно. Далее поскольку , имеем . Таким образом, если ограничены все частные производные до порядка включительно, имеем и . Следовательно, существует постоянная такая, что и

. (2.7.4)

Бибербах использовал несколько иной подход. Запишем

(2.7.5)

и воспользуемся тейлоровскими разложениями

(2.7.6)

Характеристики

Список файлов курсовой работы