Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Программа снабжена механизмом защиты от сбоев – в случае, если интегрируемая функция терпит разрыв (ее нельзя интегрировать на данном участке), программа останавливается и выдается сообщение о невозможности продолжать. Работоспособность этого механизма проверена на некоторых разрывных функциях, таких как тангенс и др.

Заключение

В работе детально рассмотрен метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага, приведены необходимые теоретические сведения, освещены альтернативные методы и их эффективность.

Был разработан алгоритм программного модуля, позволяющий автоматически менять величину шага интегрирования при решении задачи Коши в зависимости от требуемой точности, что является непременным требованием, предъявляемым ко всем хорошим современным программам данного класса, написано приложение, решены примеры.

Список использованных источников

[1]. Амоносов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. «Вычислительные методы для инженеров», М., Высшая школа, 1994, 544с.

[2]. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи», М., Мир, 1990, 512с.

[3]. Холл Д., Уатт Д. «Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений», М., Мир, 1979, 312с.

Приложение А. Графики функций

В данном приложении рассмотрены три дифференциальных уравнения первого порядка. К каждому уравнению прилагается по два графика – первый из них построен созданным приложением, а второй создан в пакете Maple 9.01.

Интегральная кривая, построенная приложением «Ilya RK-4 версия 1.43»

Интегральная кривая, построенная математическим пакетом Waterloo Maple 9.01

Интегральная кривая, построенная приложением «Ilya RK-4 версия 1.43»

Интегральная кривая, построенная математическим пакетом Waterloo Maple 9.01

Интегральная кривая, построенная приложением «Ilya RK-4 версия 1.43»

Интегральная кривая, построенная математическим пакетом Waterloo Maple 9.01

Интегральная кривая, построенная приложением «Ilya RK-4 версия 1.43»

Интегральная кривая, построенная математическим пакетом Waterloo Maple 9.01

Приложение Б.

Пример таблицы значений функции y(x)

y(-7)=100, h=0.4

y(-6.6)=100.045, h=0.4

y(-6.2)=100.112, h=0.4

y(-5.8)=100.212, h=0.4

y(-5.4)=100.361, h=0.4

y(-5)=100.585, h=0.4

y(-4.6)=100.919, h=0.4

y(-4.2)=101.419, h=0.4

y(-3.8)=102.17, h=0.4

y(-3.4)=103.301, h=0.2

y(-3.2)=104.067, h=0.2

y(-3)=105.011, h=0.2

y(-2.8)=106.175, h=0.2

y(-2.6)=107.615, h=0.2

y(-2.4)=109.4, h=0.2

y(-2.2)=111.62, h=0.2

y(-2)=114.392, h=0.2

y(-1.8)=117.873, h=0.2

y(-1.6)=122.267, h=0.2

y(-1.4)=127.857, h=0.2

y(-1.2)=135.033, h=0.2

y(-1)=144.346, h=0.2

y(-0.8)=156.596, h=0.2

y(-0.6)=172.977, h=0.1

y(-0.5)=183.256, h=0.1

y(-0.4)=195.327, h=0.1

y(-0.3)=209.595, h=0.1

y(-0.2)=226.578, h=0.1

y(-0.1)=246.953, h=0.05

y(-0.05)=258.68, h=0.05

y(2.96985e-15)=271.608, h=0.05

y(0.05)=285.897, h=0.05

y(0.1)=301.73, h=0.05

y(0.15)=319.32, h=0.05

y(0.2)=338.919, h=0.05

y(0.25)=360.821, h=0.05

y(0.3)=385.374, h=0.05

y(0.35)=412.989, h=0.05

y(0.4)=444.156, h=0.05

y(0.45)=479.459, h=0.025

y(0.475)=498.877, h=0.025

y(0.5)=519.603, h=0.025

y(0.525)=541.747, h=0.025

y(0.55)=565.433, h=0.025

y(0.575)=590.794, h=0.025

y(0.6)=617.978, h=0.025

y(0.625)=647.149, h=0.025

y(0.65)=678.489, h=0.025

y(0.675)=712.199, h=0.025

y(0.7)=748.501, h=0.025

y(0.725)=787.645, h=0.025

y(0.75)=829.906, h=0.025

y(0.775)=875.592, h=0.025

y(0.8)=925.047, h=0.025

y(0.825)=978.656, h=0.025

y(0.85)=1036.85, h=0.025

y(0.875)=1100.11, h=0.025

y(0.9)=1168.98, h=0.025

y(0.925)=1244.07, h=0.0125

y(0.9375)=1284.16, h=0.0125

y(0.95)=1326.08, h=0.0125

y(0.9625)=1369.91, h=0.0125

y(0.975)=1415.77, h=0.0125

y(0.9875)=1463.78, h=0.0125

y(1)=1514.04, h=0.0125

y(1.0125)=1566.7, h=0.0125

y(1.025)=1621.89, h=0.0125

y(1.0375)=1679.75, h=0.0125

y(1.05)=1740.44, h=0.0125

y(1.0625)=1804.13, h=0.0125

y(1.075)=1871, h=0.0125

y(1.0875)=1941.23, h=0.0125

y(1.1)=2015.04, h=0.0125

y(1.1125)=2092.63, h=0.0125

y(1.125)=2174.24, h=0.0125

y(1.1375)=2260.12, h=0.0125

y(1.15)=2350.54, h=0.0125

y(1.1625)=2445.79, h=0.0125

y(1.175)=2546.16, h=0.0125

y(1.1875)=2652, h=0.0125

y(1.2)=2763.65, h=0.0125

y(1.2125)=2881.49, h=0.0125

y(1.225)=3005.94, h=0.0125

y(1.2375)=3137.43, h=0.0125

y(1.25)=3276.43, h=0.0125

y(1.2625)=3423.46, h=0.0125

y(1.275)=3579.07, h=0.0125

y(1.2875)=3743.83, h=0.0125

y(1.3)=3918.41, h=0.0125

y(1.3125)=4103.47, h=0.0125

y(1.325)=4299.77, h=0.0125

y(1.3375)=4508.11, h=0.0125

y(1.35)=4729.35, h=0.00625

y(1.35625)=4845.11, h=0.00625

y(1.3625)=4964.45, h=0.00625

y(1.36875)=5087.5, h=0.00625

y(1.375)=5214.41, h=0.00625

y(1.38125)=5345.3, h=0.00625

y(1.3875)=5480.34, h=0.00625

y(1.39375)=5619.66, h=0.00625

y(1.4)=5763.44, h=0.00625

y(1.40625)=5911.83, h=0.00625

y(1.4125)=6065, h=0.00625

y(1.41875)=6223.14, h=0.00625

y(1.425)=6386.44, h=0.00625

y(1.43125)=6555.09, h=0.00625

y(1.4375)=6729.28, h=0.00625

y(1.44375)=6909.25, h=0.00625

y(1.45)=7095.2, h=0.00625

y(1.45625)=7287.36, h=0.00625

y(1.4625)=7485.99, h=0.00625

y(1.46875)=7691.33, h=0.00625

y(1.475)=7903.64, h=0.00625

y(1.48125)=8123.19, h=0.00625

y(1.4875)=8350.28, h=0.00625

y(1.49375)=8585.2, h=0.00625

y(1.5)=8828.27, h=0.00625

Приложение В.

Листинг программы «Ilya RK-4 версия 1.43»

// ----------------------------------------------------------------------- //

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define EPSILON 0.00001

#define MAXSTEP 1

#define VERSION 1.43

// ----------------------------------------------------------------------- //

double f(double x, double y);

double do_step(double h, double x_cur, double y_cur);

void title(void);

void main(void);

// ----------------------------------------------------------------------- //

double f(double x, double y)

{

// Правая часть ДУ f(x,y)

return (pow(2.718,x)*y);

}

// ----------------------------------------------------------------------- //

void main(void)

{

int i; // Вспомогательный счетчик

int metka; // Метка на осях

int flag = 0; // Флаг правого конца интегрирования

int metka1, metka2; // Переменные меток на осях координат

double err = 0; // Погрешность

double x0, y0; // Координаты точки начального условия

double big2_step_res, super_step_res; // Результаты длинных шагов

double k = 1; // Коэффициент коррекции

double zoom = 1; // Масштаб на графике

double big_step_res, small_step_res; // Результаты шагов интегрирования

double a, b; // Границы

double temp; // Переменная для служебных нужд

double x_cur, y_cur; // Переменные метода РК

double h; // Шаг интегрирования

double f_max = 0, f_min = 0; // Максимальное и минимальное значение кривой

double norma = 0; // Норма (для корректного масштабирования графика)int c = 8; // Переменная цвета разделительных линий

FILE *myfile; // Указатель на текстовый файл с таблицей значений

// Инициализируем графический адаптер

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode;

initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk)

{

printf("Ошибка инициализации графики: %s\n", grapherrormsg(errorcode));

getch();

}

textcolor(0);

setbkcolor(0);

title();

printf("y'=f(x,y), y(x0)=y(a)=y0, [a,b] - отрезок интегрирования\n");

label1: printf("\na=");

scanf("%lg", &a);

printf("b=");

scanf("%lg", &b);

// Авто смена границ при необходимости

if (a > b)

{

temp = a;

a = b;

b = temp;

}

if (a == b)

{

printf("Начало отрезка интегрирования совпадает с его концом, повторите ввод!\n");

goto label1;

}

printf("y(%lg)=", a);

scanf("%lg", &y0);

title();

printf("[%lg,%lg] - границы интегрирования, y(%lg)=%lg - начальное условие.\n", a, b, a, y0);

// Инициализация

h = fabs(b - a) / 10;

if (h > 0.1) h = 0.1;

x_cur = a;

y_cur = y0;

f_max = y_cur;

f_min = y_cur;

myfile = fopen("rk4.txt", "w");

fprintf(myfile, "Program: Ilya RK4 Version %g\n", VERSION);

fprintf(myfile, "Method: Runge-Kutta\n");

fprintf(myfile, "The order of method: 4\n");

fprintf(myfile, "Automatic integration step select: Enabled\n");

fprintf(myfile, "[a,b]=[%lg,%lg], y(%lg)=%lg\n", a, b, a, y0);

while (x_cur <= b)

{

if (flag > 1) break;

big_step_res = do_step(h, x_cur, y_cur);

temp = do_step(h / 2, x_cur, y_cur);

small_step_res = do_step(h / 2, x_cur + h / 2, temp);

err = fabs(big_step_res - small_step_res);

// Уменьшение длины шага

if (err > EPSILON)

{

h = h / 2;

continue;

}

// Увеличение длины шага

big2_step_res = do_step(h, x_cur + h, big_step_res);

super_step_res = do_step(2 * h, x_cur, y_cur);

if (fabs(big2_step_res - super_step_res) < EPSILON / 2)

{

h *= 2;

continue;

}

if (h > MAXSTEP) h = MAXSTEP;

// Защита от сбоев

if (h < pow(EPSILON, 2))

{

printf("Ошибка! Возможно, функция разрывна.\nПроинтегрировать на данном интервале невозможно. Скорее всего, g(%lg)=", x_cur);

fprintf(myfile, "Ошибка! Возможно, функция разрывна.\nПроинтегрировать на данном интервале невозможно. Скорее всего, g(%lg)=", x_cur);

if (y_cur < 0)

{

printf("-oo.\n");

fprintf(myfile, "-oo.\n");

}

else

{

printf("+oo.\n");

fprintf(myfile, "+oo.\n");

}

getch();

fclose(myfile);

exit(1);

}

printf("y(%lg)=%lg, err=%lg, h=%lg\n", x_cur, y_cur, err, h);

if (y_cur < f_min) f_min = y_cur;

if (y_cur > f_max) f_max = y_cur;

fprintf(myfile, "y(%lg)=%lg, h=%lg\n", x_cur, y_cur, h);

if (x_cur + h > b) h = fabs(b - x_cur);

x_cur += h;

y_cur = big_step_res;

if (x_cur >= b) flag++;

}

Характеристики

Список файлов курсовой работы