85723 (612561), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14 Класс всех -замкнутых групп -замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы 9.

Лемма 15 Каждая формация нилъпотентных групп является -замкнутой.

Доказательство. Пусть – некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию 13 группа нильпотентна. Если – наивысшая степень простого числа , делящая , то делит для некоторого , так как не может делить одновременно индексы всех подгрупп , и . Если делит , то силовская -подгруппа из входит в и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы являются -группами. Так как – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16 Пусть – некоторый -замкнутый гомоморф -замкнутых групп. Тогда класс -замкнут.

Доказательство. Пусть группа имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. По лемме 14 имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку является силовской -подгруппой в и – гомоморф, то . В группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости имеем . Лемма доказана.

Лемма 17 Для любого простого и любой формации нильпотентных групп класс является -замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме 15 класс -замкнут. По лемме 16 класс -замкнут и по теореме 1.1 Error: Reference source not found является формацией.

Теорема 18 Пусть – локальная подформация формации , – максимальный внутренний локальный экран формации . Если для любого простого формация -замкнута, , то -замкнута.

Доказательство. Пусть . Ввиду теоремы 3.3 Error: Reference source not found и леммы 4.5 Error: Reference source not found, . Формация -замкнута. По лемме 10 формация -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации является -замкнутой.

Доказательство. Пусть – локальная подформация формации . имеет внутренний локальный -экран . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3 для любого простого имеет место равенство . Так как , то по лемме 17 формация -замкнута. Тогда по теореме 18 формация -замкнута. Теорема доказана.

Следствие Д рк 20 Пусть группа имеет четыре сверхразрешимые подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты. Тогда сверхразрешима.

Заключение

В данной курсовой работе мы дали определение формации, произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились с понятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации формации всех групп с нильпотентным коммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.

Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теории формаций.

Литература

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.

2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.:Наука, 1969.

3 Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.

4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука», 1978.

Характеристики

Список файлов курсовой работы