85723 (612561), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

2) Будет ли -замкнутой для любого простого , если -замкнута?

Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.

Теорема Слепова 1 Пусть – некоторый класс групп, – максимальный внутренний локальный экран формации , – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если , то ;

2) если , то .

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть – одна из операций , . Предположим, что . Пусть – (нормальная) подгруппа группы и . Рассмотрим регулярное сплетение , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Error: Reference source not found . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

Пусть . Так как и , то

для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 (Error: Reference source not found) подгруппа является -группой. Так как и формация является по теореме 3.3 Error: Reference source not found -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута ( -замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно -замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что -замкнута ( -замкнута). Полагая и применяя теорему 1, мы получаем, что -замкнута ( -замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого формация является -замкнутой ( -замкнутой). Пусть – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то обладает -центральным главным рядом

Пусть . Так как

то , где . Пусть . По условию и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

является -центральным рядом группы . Теорема доказана.

Для любого натурального числа -замкнутый класс содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп назовем слабо -замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если и – подгруппы группы причем и взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3 Пусть – локальный экран формации и пусть для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является слабо -замкнутой. Тогда слабо -замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу наименьшего порядка. Таким образом, не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы неединичны.

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . В подгруппы имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для теорема верна, то . Ясно, что – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем и для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть . Тогда неабелева и . Отсюда и из единственности вытекает, что . Но тогда и, следовательно, можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла нильпотентна. Так как к тому же нормальна в , то . Но тогда для любого , а так как формация слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как и по условию . Получили противоречие.

Случай 2. Пусть . Тогда входит в и является -группой. Так как , то абелева. Пусть – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10 является -группой. Но тогда и является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что для любого . Но тогда , так как слабо -замкнута. Последнее означает, что -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 4 Пусть группа имеет две нормальные -сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда -сверхразрешима.

Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы 3 при .

Следствие 5 Пусть группа имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда сверхразрешима.

Теорема Слепова 6 Пусть формация имеет такой локальный экран , что для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является -замкнутой. Тогда -замкнута.

Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы 3.

Теорема Слепова 7 Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута (слабо -замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно слабо -замкнута).

Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 3 и 6. Пусть -замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .

Пусть , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Error: Reference source not found для любого . Так как -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если – пересечение централизаторов в всех -главных факторов группы , то

Так как , то по лемме 3.10 подгруппа является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8 Пусть , , . Тогда . В частности, если и , то непростая.

Доказательство. Из равенства следует, что

Следовательно, . Отсюда, ввиду для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9 Группа разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа имеет разрешимые подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть – минимальная нормальная подгруппа из . Так как разрешима, то , – простое число. Ввиду условия теоремы, не делит одновременно и . Пусть, для определенности, не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как и , то по лемме 8 . Таким образом, – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. По индукции разрешима, но тогда и разрешима. Теорема доказана.

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп называется -замкнутым ( – натуральное число), если содержит всякую группу , имеющую -подгрупп, индексы которых в при попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация -замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10 Пусть и – -замкнутые классы групп. Тогда также -замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11 Пусть формация содержится в и -замкнута, . Тогда формация является -замкнутой.

Доказательство. Пусть группа имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в попарно взаимно просты. Так как , то по теореме 9 группа разрешима. При любом гомоморфизме группы образы подгруппы принадлежат и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал группы является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга группы также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому содержится по крайней мере в подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как является -группой, то и поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия Error: Reference source not found вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12 Пусть – такой локальный -экран формации , что для любого простого формация -замкнута, . Тогда -зaмкнута.

Доказательство. Так как – -экран, то для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 Error: Reference source not found . Если , то и -замкнута; если же , то по лемме формация -замкнута. В любом случае -замкнута. По лемме -замкнута. Применяя лемму 10, мы видим, что и формация -замкнута. Теорема доказана.

Так как формация имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы 12 при , то мы получаем

Следствие Кегель 13 Группа нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты.

Характеристики

Список файлов курсовой работы