85723 (612561), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы являются радикальными. -радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть и – формации, причем либо , либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда – формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть – некоторое множество групп. Пусть – пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .

Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

Последнее означает -замкнутость класса . Итак, – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов группы выполняются равенства Если – подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:

1)

2) для любого гомоморфизма группы ; в частности, если группа из нормализует и , то нормализует и

Лемма 2.6 Пусть – подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном выполняется включение:

При это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если – такая подгруппа группы , что , то

Доказательство. Пусть – нильпотентная нормальная подгруппа группы , а – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения

Очевидно, подгруппа нормализует и . Обозначим через подгруппу группы , порожденную подгруппами . Поскольку проекции на множители прямого произведения равны , то . Заметим еще, что , где нормальна в и нильпотентна как подпрямое произведение из .

Пусть – центр подгруппы , . Легко видеть, что , причем и поэлементно перестановочны; аналогично, и поэлементно перестановочны. Но тогда , абелева и нормальна в . Если , то , где , и если , то , что влечет . Следовательно, . Если абелева, то , и мы имеем

Предположим теперь, что . Ясно, что . Так как

то нильпотентна ступени . Так как , то изоморфна и имеет ступень , а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание в имеет ступень . Так как нормализует и , то нормальна в . Итак, , причем . По индукции

Для группы и ее нильпотентной нормальной подгруппы ступени теорема также верна по индукции. Поэтому

Теорема доказана.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.

Доказательство. Пусть – подформация формации . Если , то по теореме 2.3 имеет место , что и требуется.

Экраны

Недостатком понятия групповой функции является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.

Определение 3.1. Отображение класса всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы выполняются следующие условия:

1) – формация;

2) для любого гомоморфизма группы ;

3) .

Из условия 2) вытекает, что экран принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией .

Лемма 3.1. Пусть – экран, – группа операторов группы , – некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

Пусть . Тогда ряд

будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и -изоморфизмы:

Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;

2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности , введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы множество формаций линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение является формацией. Тем самым лемма доказана.

Определение 3.2. Экран назовем:

1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы и ее силовской p – подгруппы имеет место ;

2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;

3) локальным, если он является локальной групповой функцией;

4) композиционным, если для любой группы имеет место , где пробегает все крмпозиционные факторы группы

5) пустым, если для любой неединичной группы ;

6) -экраном, если для любой группы .

-экран при будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть и – непустые формации, причем , а групповая функция такова, что для каждой нееденичной примарной группы и для любой непримарной группы . Тогда – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть – непустая формация, а групповая функция такова, что для любой нееденичной группы выполняются условия:

1) , если не имеет абелевых композиционных факторов;

2) , если имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда – композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран , достаточно каждому простому числу поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает .

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран , нужно каждой простой группе поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает все композиционные факторы группы .

Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;

2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;

3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.

Доказательство. Пусть экран является пересечением множества экранов . Предположим, что все экраны являются локальными, т.е. для любых и имеет место равенство:

где пробегает все примарные подгруппы группы . Тогда

а значит, – локальный экран.

Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.

Доказательство. Пусть – некоторая цепь экранов, – ее объединение, . По лемме 3.3 функция является экраном, причем ясно, что примарная постоянность влечет примарную постоянность экрана . Предположим, что все являются однородными экранами. Тогда, если – любая группа и , то . Следовательно,

что и доказывает однородность экрана .

Экраны формаций

Каждой групповой функции соответствует формация .

Лемма 3.5. является непустой формацией для любой групповой функции .

Определение 3.3. Пусть – некоторая формация. Если – такой экран, что , то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что

Характеристики

Список файлов курсовой работы