85723 (612561), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

– экран формации ,

имеет экран ,

экран определяет формацию ,

определяется экраном .

Формация имеет единичный экран. Единичная формация имеет пустой экран.

Определение 3.4. Экран назовем внутреним, если – внутреняя групповая функция, т.е. для любой неединичной группы .

Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.

Доказательство. Пусть – экран формации . Определим функцию следующим образом: для любой группы . Легко видеть, что – экран, причем . Если и – главный фактор группы , то . Так как класс -замкнут, то , а значит, -централен в . Таким образом, . Итак, , т.е. – искомый внутренний экран.

Лемма 3.7. Пусть – экран формации . Тогда является экраном формации .

Доказательство. Пусть – произвольный главный фактор группы . Пусть . Так как , то . Значит, , т.е. -централен в . Отсюда следует, что .

Обратно, если , то главный ряд группы будет -центральным для любого , т.е. . Итак, .

Лемма 3.8. Пересечение любого непустого множества экранов формации снова является экраном формации . Кроме того, если в имеется хотя бы один внутрений экран, то – внутрений экран.

Доказательство. То, что – экран формации , непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в имеется внутренний экран . Тогда для любой группы . Значит, – внутренний экран.

Формация с однородным экраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией.

Доказательство. Пусть формация имеет однородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация имеет внутренний однородный экран . Построим локальный экран , удовлетворяющий следующему условию: для любого простого . Тогда и, следовательно, . Предположим, что формация обладает группами, не входящими в , и выберем среди всех таких групп группу , имеющую наименьший порядок. Тогда является единственной минимальной нормальной подгруппой группы . Так как , то для любого имеет место

Если неабелева, то и . Если же – -группа, то получается, что -центральна в . А это противоречит тому, что . Теорема доказана.

Локальная формация

Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.

Определение 4.1. Формация называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Определение 4.2. Пусть – внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда называется максимальным внутренним локальным экраном формации .

Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация имеет единственный максимальный внутренний локальный экран , причем удовлетворяет следующему условию: для любого простого числа p.

Определение 4.3. Пусть – локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации назавем минимальным локальным экраном формации .

Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.

Доказательство. Пусть – множество всех локальных экранов формации , причем . Обозначим через пересечение множества экранов . В множестве имеется внутренний экран, поэтому – внутренний экран формации . По лемме 3.4 экран является локальным. Ввиду леммы 3.8 – искомый экран.

Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация обладает локальным экраном таким, что для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных -групп. Пусть – формация всех нильпотентных -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – минимальный локальный экран формации .

4. Формация -групп. Пусть – формация всех -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация -нильпотентных групп. Пусть – формация всех -нильпотентных групп ( – фиксированное простое число), – такой локальный экран, что для любого простого числа , отличного от . Покажем, что – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что -нильпотентна. Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции -нильпотентна. Если – -группа, то отсюда следует, что и -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь – -подгруппа из , то ввиду подгруппа -нильпотентна, а значит, и -нильпотентна. Тем самым показано, что .

Теорема 5.1. В любой -группе подгруппа совпадает с пересечением централизаторов в всех главных -факторов группы .

Следствие 5.1.1. В любой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов в всех главных факторов группы .

Следствие 5.1.2. Для любой -разрешимой группы имеет место включение .

Следствие 5.1.3. (Фиттинг). для любой разрешимой группы .

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант -сверхразрешимой группы -нильпотентен.

6. Формация -замкнутых групп. Пусть – формация всех -замкнутых групп ( – некоторое фиксированное множество простых чисел), – такой локальный экран, что для любого для любого . Покажем, что – экран формации .

Очевидно, . Предположим, что класс не пуст, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем не является -группой. Пусть . Так как , то , а значит, . Поэтому – абелева -группа. Так как -замкнута, то и -замкнута, т.е. имеет нормальную -подгруппу . Ясно, что . Так как , то . Легко видеть, что , а значит, и группа -замкнута. Тем самым показано, что .

7. Формация -дисперсивных групп. Пусть – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел, – формация всех -дисперсивных групп. Покажем, что локальна.

Рассмотрим всевозможные множества простых чисел, обладающие следующим свойством: для всех . Пусть – формация всех -замкнутых групп. Очевидно, . Так как формации локальны, то по лемме 3.4 формация также является локальной.

8. Формация -разрешимых групп. Пусть – формация всех -разрешимых групп, – такой локальный экран, что для любого простого . Нетрудно заметить, что – максимальный внутрений локальный экран формации . В частности, формация является локальной.

9. Формация -сверхразрешимых групп. Пусть – формация всех -сверхразрешимых групп. Обозначим через формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей . Построим локальный экран такой, что для любого для любого . Покажем, что . Ясно, что . Пусть , – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции . Если – -группа, то -сверхразрешима. Пусть порядок делится на некоторое число . Тогда, если , то

Отсюда следует, что – -группа.

Лемма5.1. Пусть – некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов -группы и . Тогда – циклическая группа порядка, делящего . Кроме того, – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению .

Доказательство. Будем считать, что – аддитивная абелева группа. Тогда можно рассматривать как правое векторное пространство размерности над полем из элементов. Пусть – коммутативное подкольцо кольца , порожденное элементами и . Ввиду условия является неприводимым правым -модулем (определения, связанные с -модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура, – тело. Так как коммутативно, то . Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому – поле. Так как -модуль неприводим, то для любого ненулевого ; но тогда отображение , является -гомоморфизмом -модуля на . Так как ядро есть идеал поля , то – изоморфизм. Следовательно, . Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому циклическая и делит .

Пусть – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению . Тогда делит . Хорошо известно, что поле порядка содержит подполе порядка . Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и делит , то . Но тогда и . Лемма доказана.

10. Формация . Пусть – непустая формация, – такой локальный экран, что для любого простого . Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что – экран формации . В частности, формации и являются локальными формациями.

Пусть – локальный экран некоторой подформации из . Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что является локальным -экраном формации . Таким образом, каждая локальная подформация формации имеет внутренний локальный -экран. В частности, любая локальная подформация формации имеет внутренний локальный -экран.

Локальные формации с заданными свойствами

Пусть – некоторая операция, – локальный экран формации . Естественно возникают два вопроса:

1) Будет ли -замкнутой, если -замкнута для любого простого ?

Характеристики

Список файлов курсовой работы