85645 (612535)

Файл №612535 85645 (Иррациональные уравнения)85645 (612535)2016-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курсовая работа

Иррациональные уравнения

Содержание:

Введение

1. Основные определения и теоремы

2. Стандартные иррациональные уравнения и методы их решения

2.1 Уравнения вида

2.2. Уравнения вида

2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной

2.4 Уравнения вида , ,

3. Нестандартные методы решения иррациональных уравнений

3.1 Применение основных свойств функции

3.1.1 Использование области определения уравнения

3.1.2 Использование области значений функции

3.1.3 Использование монотонности функции

3.1.4 Использование ограниченности функции

3.2 Применение производной

3.2.1 Использование монотонности функции

3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функций

4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения

4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность

4.2 Иррациональные показательные уравнения

4.3 Иррациональные логарифмические уравнения

Заключение

Литература

Введение

Тема моей курсовой работы − «иррациональные уравнения». Я выбрала её потому, что в учебном курсе, этому материалу посвящено мало часов, а в задачниках большое количество примеров посвящено именно этой теме.

Поэтому в изучении «иррациональных уравнений» я преследую цель - дать основные определение иррациональным уравнениям и теоремам. Определить какие бывают виды уравнений. Рассмотреть правила решения иррациональных уравнений.

Задачи моей работы – изучить научную и методическую литературу, подобрать и рассмотреть задачи для данной темы, включая олимпиадные.

В моей курсовой работе показаны решения иррациональных уравнений как стандартного метода, так и не стандартного метода решения. Я старалась как можно доступнее охватить проблемы этой темы. Конечно, всё нельзя учесть в курсовой работе, но я постараюсь ниже изложить основные моменты. Я хотела бы сделать данную работу вспомогательным пособием при изучении темы «Иррациональные уравнения».

1. Основные определения и теоремы

Определение 1. Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входит одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Пример 1. - является уравнением с одной неизвестной.

Пример 2. - является уравнением с двумя неизвестными.

Определение 2. Равенство вида называется уравнением с одной переменной .

Пример 1. - является уравнением с одной переменной х.

Далее рассматриваем уравнения с одной переменной.

Определение 3. Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения или его решением.

Пример 1. Уравнение имеет два корня: -1 и 1.

Определение 4. Решить уравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной обращается в верное равенство, таким образом, ответ записывается в следующем виде:

О т в е т: {4}.

Пример 2. Уравнение не имеет действительных корней.

О т в е т: .

Пример 3. Уравнение имеет бесконечное множество решений, так как после тождественных преобразований получили равенство . Т.е данное уравнение есть тождественное равенство, верное для любого действительного значения .

О т в е т: .

Определение 5. Тождество (тождественное равенство) - это равенство двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождествами считаются и верные числовые равенства, а также равенства, превращающиеся в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения определены.

Пример 1. Равенство , справедливо для всех числовых значений и в, является тождественным.

Пример 2. Равенство 2=2 тождество.

Определение 6. Тождественное преобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное ему выражение, т. е. равное для всех числовых значений входящих в него переменных.

К тождественным преобразованиям относятся, например, приведение подобных слагаемых; разложение на множители; приведение алгебраических дробей к общему знаменателю; разложение их на элементарные дроби и другие.

Определение 7. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Пример 1. - иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком радикала).

Пример 2. иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком возведения в дробную степень).

Определение 8. Областью определения уравнения (или областью допустимых значений переменной - ОДЗ) называют множество всех тех значений переменной , при которых и выражение , и имеют смысл.

Пример 1. Выражение ( и определены при всех . Значит, ОДЗ: .

Пример 2. . Выражение не определено при , а выражение не определено при .

Значит, ОДЗ: .

Пример 3. . Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия: т.е. ОДЗ:

Определение 9. Пусть даны уравнения: (1), (2).

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Следствие обозначается следующим образом:

Пример 1.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решение, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые, «посторонние» корни. Чтобы выявить и отсеять «посторонние» корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Рассмотрим примеры преобразований, которые могут привести к расширению ОДЗ, т.е. к появлению «посторонних» корней.

  1. Замена уравнения уравнением

Если при некотором значении , равном , верно равенство , то верным является также равенство . Значит, уравнение является следствием исходного уравнения. При этом может существовать такое значение , равное , при котором и . Тогда число , являющееся корнем уравнения , не является корнем исходного уравнения, т.к. при исходное уравнение не имеет смысла.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. . Тогда .

Проверка.

При знаменатель уравнения не обращается в ноль, а при - обращается. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень: -10.

О т в е т: .

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения (1) и . Если - корень первого уравнения, то верно равенство . Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. , а это означает, что - корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

; .Тогда , .

Проверка.

Если , то , равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если , то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

О т в е т: {4}.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения - следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: . Тогда , .

Проверка.

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

О т в е т: {5}.

Пример 2. Решить уравнение .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
6,53 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее