Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть --- коммутант группы . По 30 пересечение равно 1. Значит, не содержится в . Из цикличности следует, что подгруппа имеет порядок, не делящийся на , т. е. разрешима. Теперь и разрешима, противоречие. Следствие доказано.

Группы Шмидта и -квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова 10 и М. И. Кравчука 29.

6. Доказательство теоремы (3)

Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в , а , где --- силовская 2-подгруппа в , --- ее инвариантное дополнение в . В силу леммы 19 условие теоремы выполняется для , поэтому мы можем считать, что .

Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда неразрешима, и по лемме 19 порядок делится на . Силовская -подгруппа циклическая, поэтому --- простая группа. Теперь, если --- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа пересекается с не по единице. Из минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная минимальная инвариантная в подгруппа. Так как централизатор подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и . Следовательно, изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .

Если --- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна . Но тогда изоморфна , противоречие.

Таким образом, --- простая группа. В силу теоремы 17 подгруппа неединична.

Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа, --- силовская подгруппа из , содержащая , . Так как инвариантна в , то .

Допустим, что . Напомним, что --- наибольшая инвариантная в группе -подгруппа. Так как и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому для некоторого . Теперь . Так как инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем, что либо абелева, либо изоморфна или . Если абелева, то группа разрешима, противоречие. Так как , то изоморфизм с группами и ) невозможен.

Таким образом, . Группа , и не содержит подгрупп, инвариантных в . По лемме 1 из 28 группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции изоморфна или .

Допустим, что имеет четный порядок. Подгруппа факторизуема, a инвариантна в , значит, и . Если содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из 28 подгруппа неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.

Теперь силовская 2-подгруппа из изоморфна силовской 2-подгруппе из группы или , т. е. --- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна или , нечетное. Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Теорема доказана.

Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа --- контрпример минимального порядка. Фактор-группа неразрешима и по теореме она изоморфна или . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.

Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.

Теорема. Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .

Теорема. Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.

Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .

Теорема. Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок равен , а .

Список литературы

11[] Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.

22[] Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.

33[] Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.

44[] Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63

55[] Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.

66[] В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.

77[] В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.

88[] И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.

99[] П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.

1010[] В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.

1111[] С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.

1212[] О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.

1313[] L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.

1414[] В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.

1515[] D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.

1616[] Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.

1717[] В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.

1818[] Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.

1919[] Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.

2020[] B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.

2121[] D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.

2222[] С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.

2323[] С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.

2424[] В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.

2525[] J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.

2626[] N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.

2727[] В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.

2828[] Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.

2929[] Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.

3030[] Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.

3131[] Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow -groups, J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.

3232[] Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН БССР, 13, № 2 (1969), 101-102.

3333[] Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.

3434[] Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН БССР, 15, № 10 (1971), 877-880.

3535[] Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.

Характеристики

Список файлов курсовой работы