86367 (597885), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Протиріччя.
Наступна лема доведена Д. Коувером і Дж. Куіскуотером в 1992 р.
Лема 3. Нехай 
і 
задовольняють умову леми 1. Визначимо числа 
й 
рівністю 
. Якщо 
й число 
не дорівнює нулю й не є повним квадратом, то 
- прості.
Доведення. Відповідно до леми 1 для кожного простого дільника 
числа виконується нерівність 
За умовою 
. Тому, якщо число
– складене, то воно не може мати більше двох простих дільників. Нехай
и. 
.
Маємо 
інакше 
.
Якщо 
, то 
Звідси 
, однак у цьому випадку 
Тому 
.
Отже, 
і 
. За теоремою Вієта 
є коренями квадратного рівняння 
, що має розв’язання в цілих числах у тому і тільки в тому випадку, якщо є повним квадратом або нулем. Лему доведено.
Зазначимо, що переконатися, що задане число не є повним квадратом, можна, обчисливши символ Лежандра для декількох маленьких простих модулів. Якщо при деякому модулі число не буде квадратичним відрахуванням, то воно не буде й повним квадратом.
Нехай 
– функція Ейлера.
Лема 4. Нехай – просте число й 
. Позначимо через 
число елементів 
, порядок яких ділиться на 
. Тоді справедлива оцінка
,
причому рівність виконується в тому й у тільки в тому випадку, коли 
Доведення. Використовуючи властивості функції Ейлера, отримуємо
причому рівність виконана в тому і тільки в тому випадку, коли
Размещено на Allbest.ru
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
