86108 (597869)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2008

Введение

Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]

Численные методы для решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.

1. Определения и условные обозначения

– конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из упорядоченных действительных чисел, например:

где – действительные числа, .

В введена операция сложения элементов, т. е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. , что (элемент называется нулевым),

4. , что (элемент называется противоположным элементу ).

В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1. ,

Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:

1. ,

2. .

Каждой паре элементов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением, где

и выполнены следующие условия:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , причем – нулевой элемент.

Матрица вида

, (1)

где – действительные числа ( , ) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для

,

где .

Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:

1. сложение операторов , при этом, если , то ,

2. умножение операторов на числа: при этом, если , то ,

3. умножение операторов: , при этом, если , то .

Обратным к оператору называется оператор такой, что , где – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,

.

Пусть число и элемент , таковы, что .

Тогда число называется собственным числом линейного оператора , а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых элементов выполняется равенство .

Для всякого оператора сопряженный оператор существует, единствен; если , то .

Справедливы равенства:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , если существует.

Каждому элементу ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом и называемое нормой элемента .

Введем в рассмотрение три нормы для :

,

,

.

При этом выполняются следующие неравенства:

.

Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):

1. , причем , лишь если ,

2. ,

3. .

Говорят, что последовательность элементов сходится к элементу ,

а именно, ,

или ,

если .

Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве называется сходимостью по норме.

Множество элементов , удовлетворяющих неравенству называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке и обозначается .

Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом и называемое нормой линейного оператора .

Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:

1. , причем , лишь если – нулевая матрица,

2. ,

3. .

Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :

,

,

,

где i-ое собственное значение матрицы .

Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия .

2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в

Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:

(2)

или F(x) = 0,

где – заданные функции n переменных, – неизвестные.

Функция при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.

Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение системы в тождество.

Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:

или ,

где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий в

Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке вида

(2 )

или ,

где – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно , вычисленных точке .

Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:

(3)

или ,

где .

Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).

Функции удовлетворяют тем же условиям, что и функции .

3. Отделение решений

Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.

Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.

Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.

Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.

Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.

Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.

Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.

Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений

, .

В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.

4. Методы решения нелинейных уравнений

4.1 Метод простой итерации

Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.

Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги