86036 (597858), страница 3
Текст из файла (страница 3)
По условию задачи имеем:
-
(вероятность того, что партия попадет к первому контролеру);
-
(вероятность того, что партия попадет ко второму контролеру);
-
(вероятность того, что годная партия будет признана первым контролером стандартной);
-
(вероятность того, что годная партия будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность
Задачи для контрольной работы
Таблица 4
| Номер варианта | Содержание задачи |
| 1 | Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго, Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? |
| 2 | Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55, ко второму контролеру – 0,45.Первый контролер выявляет имеющийся дефект с вероятностью 0,8, а второй –с вероятностью 0,9. Вычислить вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации. |
| 3 | Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступивших от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки 1 сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию первым сортом равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию – первосортной. Это происходит с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт яблок? |
| 4 | Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 25% первой партии и 40% второй партии составляют товар 1-го сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет первого сорта? |
| 5 | Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 – для второй кассы. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его в во второй кассе. |
| 6 | В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от первого поставщика, в два раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют различные дефекты отделки. Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность того, что ее изготовил первый поставщик? |
| 7 | Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго – 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки? |
| 8 | В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия – 200 единиц, из них 50 – первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии? |
| 9 | Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер? |
| 10 | В двух одинаковых коробках находятся карандаши. Известно, что 1/3 карандашей в первой коробке и 1/4 карандашей во второй – характеризуется твердостью ТМ. Наугад выбирается одна коробка и из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказался твердости ТМ. Какова вероятность того. Что он извлечен из первой коробки? |
Тема 4. Случайные величины
Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры 
и 
.
3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.
4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения 
до 
.
5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью 
.
Параметры 
(в млн. руб), приводятся в таблице 5.
Таблица 5
| Значения параметров | ||||
| | | | | |
| 1 | 2 | 2 | 3 | 0,5 |
Решение.
1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:
2.Найдем параметр . Функция распределения 
обладает следующим свойством:
=1. Вычислим предел
=
.
Отсюда 
=1.
Далее определим параметр . Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от 
до 
. Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем
Таким образом, =
.
3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что = ) как несобственный интеграл:
.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть 
.
Тогда
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:
По формуле
определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл
также методом интегрирования по частям. Пусть 
. Тогда
,
.
Последний интеграл уже найден при вычислении 
, поэтому можно записать:
.
Отсюда окончательно получаем:
.
После подстановки численных значений параметров, находим
Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения
При 
получаем
Подставляя численные значения параметров, имеем:
Величина 
, определяемая равенством 
, называется квантилем порядка . В задаче требуется найти . Запишем необходимое равенство: 
или 
. Логарифмируя последнее равенство 
, найдем
.
При =0,5 получаем:
Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).
Задача для контрольной работы
Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры и .
3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.
4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения до .
5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью .
Параметры 
для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.
Таблица 6
| Параметры | Номер варианта | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| | 200 | 250 | 300 | 350 | 360 | 370 | 380 | 390 | 400 | 410 |
| | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 | 4,0 |
| | 210 | 280 | 350 | 400 | 380 | 390 | 410 | 420 | 425 | 440 |
| | 230 | 300 | 400 | 480 | 400 | 420 | 430 | 450 | 460 | 500 |
| | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,45 | 0,5 | 0,55 | 0,6 | 0,55 | 0,65 | 0,7 |
Тема 5. Математическая статистика
Задача. При оценке свойств картофеля было обследовано 10 проб и получены следующие значения содержания крахмала 
:
Таблица 7
| Содержание крахмала, % | |||||||||
| | | | | | | | | | |
| 5,2 | 5,8 | 5,7 | 6,0 | 5,9 | 5,3 | 4,9 | 5,1 | 5,3 | 5,8 |
Требуется:
1. Определить выборочное среднее 
, выборочную дисперсию 
, среднее квадратическое отклонение 
, исправленные дисперсию 
и среднее квадратическое отклонение 
для величины .
2. Полагая, что изменчивость величины описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения 
содержания крахмала с заданной надежностью 
, а также вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
