85956 (597848), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Так как 
и 
,
то 
(2.9)
Это тригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9), следует найти:
модуль по формуле 
(2.10)
аргумент 
по формулам :
если 
1-ой четверти, то 
;
если 2-ой четверти, то 
;
если 3-ой четверти, то 
; (2.11)
если 4-ой четверти, то 
,
где вспомогательный острый угол 
определяют по формуле 
Если 
то 
.
Если 
то 
. ( 2.12)
Если 
то 
.
Если 
то 
.
С помощью формулы Эйлера 
, (2.13)
можно комплексное число представить в показательной форме
(2.14)
Если в формуле (2.13) заменить на - , то получим
(2.13')
Из (2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера:
(2.15)
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Умножение. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:
(2.16)
Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:
(2.17)
Возведение в целую степень п. Модуль возводится в степень п, аргумент умножается на п.
(2.18)
Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если 
(2.19) 
Формулы (2.18) и (2.19) называются формулами Муавра.
Упражнения к § 3.2
3.20 Выполнить действия
; 5) 
; 6) 
; 7) 
;
9) 
.
3.21 Представить в виде суммы более простых дробей:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
3.22 Решить уравнения:
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
, 5) 
, 6) 
, 7) 
, 8) 
, 9) 
, 10) 
, 11) 
.
3.23 Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической форме числа:
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
, 7) 
, 8) 
,
9) 5, 10) i.
3.24 Представить в показательной форме числа (указать главное значение аргумента):
2) 
;
3) 
4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
3.25 Выполнить действия: 1) 
2) 
,
3) 
, 4) 
, 5) 
,
6) 
, 7) 
, 8) 
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
, 13) 
,
14) 
, 15) 
16) 
17) 
.
3.26 Найти все значения корней:
3.27. Решить уравнения:
3.28 Выразить через степени
и
следующие функции:
3.29 Доказать:
1) 
2) 
3) 
если 
.
Указание. Воспользуйтесь формулами Эйлера
а также формулой суммы членов геометрической прогрессии.
Глава 4 Индивидуальные домашние задания
4.1 Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ) по теме: “Предел функции и непрерывность”
Задача 1. Найти пределы:
Задача 2. Найти пределы.
| 2.1. | 2.2. | ||
| 2.3. | 2.4. | ||
| 2.5. | 2.6. | ||
| 2.7. | 2.8. | ||
| 2.9. | 2.10. | ||
| 2.11. | |||
| 2.13. | |||
| 2.14. | |||
| 2.15. | |||
| 2.16. | |||
| 2.17. | |||
| 2.18. | |||
| 2.19. | |||
| 2.20. 2.21. | |||
| 2.22. | |||
| 2.23. | |||
| 2.25. | |||
| 2.26. 2.27. | |||
| 2.28. | |||
| 2.29. | |||
| 2.30. | |||
Задача 3. Доказать непрерывность функции f(x) в точке x0.
| 3.1. f(x)=6-x2, x0=2 | 3.2. f(x)=3x2-2, x0=-2 |
| 3.3. f(x)=-2x2-3, x0=3 | 3.4. f(x)=2x2+5, x0=-3 |
| 3.5. f(x)=5x2-1, x0=4 | 3.6. f(x)=2-3x2, x0=4 |
| 3.7. f(x)=4x2-3, x0=-1 | 3.8. f(x)=4x2+5, x0=2 |
| 3.9. f(x)=x2+7, x0=-3 | 3.10. f(x)=7-2x2, x0=3 |
| 3.11. f(x)=-2x2-7, x0=2 | 3.12. f(x)=3x2+2, x0=4 |
| 3.13. f (x)=5x2+3, x0=-2 | 3.14. f(x)=4x2-1, x0=-3 |
| 3.15. f(x)=7x2-1, x0=4 | 3.16. f(x)=-8x2-1, x0=1 |
| 3.17. f(x)=2x2+11, x0=5 | 3.18. f(x)=10x2-3, x0=5 |
| 3.19. f(x)=13-2x2, x0=3 | 3.20. f(x)=3-10x2, x0=4 |
| 3.21. f(x)=4x2-11, x0=-2 | 3.22. f(x)=1-5x2, x0=2 |
| 3.23. f(x)=3-4x2, x0=1 | 3.24. f(x)=-7-x2, x0=1 |
| 3.25. f(x)=x2-6, x0=3 | 3.26. f(x)=9-5x2, x0=-2 |
| 3.27. f(x)=7-5x2, x0=-2 | 3.28. f(x)=-2x2-1, x0=3 |
| 3.29. f(x)=11-3x2, x0=2 | 3.30. f(x)=4x2-15, x0=-1 |
Задача 4. Найти пределы разложением на множители и по правилу Лопиталя.
| 4.1. | 4.2. |
| 4.3. | 4.4. |
| 4.5. | 4.6. |
| 4.7. | 4.8. |
| 4.9. | 4.10. |
| 4.11. | 4.12. |
| 4.13. | 4.14. |
| 4.15. | 4.16. |
| 4.17. | 4.18. |
| 4.19. | 4.20. |
| 4.21. | 4.22. |
| 4.23. | 4.24. |
| 4.25. | 4.26. |
| 4.27. | 4.28. |
| 4.29. | 4.30. |
Задача 5. Найти пределы, используя метод освобождения от иррациональности.
| 5.1. | 5.2. | |
| 5.3. | 5.4. | |
| 5.5. | 5.6. | |
| 5.7. | 5.8. | |
| 5.9. | 5.10. | |
| 5.11. | 5.12. | |
| 5.13. | 5.14. | |
| 5.15. | 5.16. | |
| 5.17. | 5.18. | |
| 5.19. | 5.20. | |
| 5.21. | ||
| 5.22. | 5.23. | |
| 5.24. | 5.25. | |
| 5.26. | 5.27. | |
| 5.28. | 5.29. | |
| 5.30. | ||
Задача 6. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые.
| 6.1. | 6.2. |
| 6.3. | 6.4. |
| 6.5. | 6.6. |
| 6.7. | 6.8. |
| 6.9. | 6.10. |
| 6.11. | 6.12. |
| 6.13. | 6.14. |
| 6.15. | 6.16. |
| 6.17. | 6.18. |
| 6.19. | 6.20. |
| 6.21. | 6.22. |
| 6.23. | 6.24. |
| 6.25. | 6.26. |
| 6.27. | 6.28. |
| 6.29. | 6.30. |
Задача 7. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
| 7.1. | 7.2. |
| 7.3. | 7.4. |
| 7.5. | 7.6. |
| 7.7. | 7.8. |
| 7.9. | 7.10. |
| 7.11. | 7.12. |
| 7.13. | 7.14. |
| 7.15. | 7.16. |
| 7.17. | 7.18. |
| 7.19. | 7.20. |
| 7.21. | 7.22. |
| 7.23. | 7.24. |
| 7.25. | 7.26. |
| 7.27. | 7.28. |
| 7.29. | 7.30. |
Задача 8. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
| 8.1. | 8.2. |
| 8.3. | 8.4. |
| 8.5. | 8.6. |
| 8.7. | 8.8. |
| 8.9. | 8.10. |
| 8.11. | 8.12. |
| 8.13. | 8.14. |
| 8.15. | 8.16. |
| 8.17. | 8.18. |
| 8.19. | 8.20. |
| 8.21. | 8.22. |
| 8.23. | 8.24. |
| 8.25. | 8.26. |
| 8.27. | 8.28. |
| 8.29. | 8.30. |
Задача 9. Используя формулы второго замечательного предела и его следствий, найти пределы функций.
| 9.1. | 9.2. |
| 9.3. | 9.4. |
| 9.5. | 9.6. |
| 9.7. | 9.8. |
| 9.9. | 9.10. |
| 9.11 | 9.12. |
| 9.13. | 9.14. |
| 9.15. | 9.16. |
| 9.17. | 9.18. |
| 9.19. | 9.20. |
| 9.21. | 9.22. |
| 9.23. | 9.24. |
| 9.25. | 9.26. |
| 9.27. | 9.28. |
| 9.29. | 9.30. |
(a, b>0)
Задача 10. Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти следующие пределы.
| 10.1. a) | б) |
| 10.2. а) | б) |
| 10.3. а) | б) |
| 10.4. а) | б) |
| 10.5. а) | б) |
| 10.6. а) | б) |
| 10.7. а) | б) |
| 10.8. а) | б) |
| 10.9. а) | б) |
| 10.10. а) | б) |
| 10.11. а) | б) |
| 10.12. а) | б) |
| 10.13. | б) |
| 10.14. | б) |
| 10.15. а) | б) |
| 10.16. а) | б) |
| 10.17. а) | б) |
| 10.18. а) | б) |
| 10.19. а) | б) |
| 10.20. а) | б) |
| 10.21. а) | б) |
| 10.22. а) | б) |
| 10.23. а) | б) |
| 10.24. а) | б) |
| 10.25. а) | б) |
| 10.26. а) | б) |
| 10.27. а) | б) |
| 10.28. а) | б) |
| 10.29. | б) |
| 10.30. | б) |
Задача 11. Применяя формулу Тейлора, вычислить пределы.
| 11.1 | 11.2. | |
| 11.3. | 11.4. | |
| 11.5. | 11.6. | |
| 11.7. | 11.8. | |
| 11.9. | 11.10. | |
| 11.11. | 11.12. | |
| 11.13. | 11.14. | |
| 11.15. | 11.16. | |
| 11.17. | 11.18. | |
| 11.19. | 11.20 | |
| 11.21. | 11.22. | |
| 11.23. | 11.24. | |
| 11.25. | 11.26. | |
| 11.27. | 11.28. | |
| 11.29. | 11.30. | |
Задача 12. Найти точки разрыва, уравнения асимптот и построить схематично график функции.
| 12.1. а) | б) | ||
| 12.2. а) | б) | ||
| 12.3. а) | б) | ||
| 12.4. а) | б) | ||
| 12.5. а) | б) | ||
| 12.6. а) | б) | ||
| 12.7. а) | б) | ||
| 12.8. а) | б) | ||
| 12.9. а) | б) | ||
| 12.10. а) | б) | ||
| 12.11. а) | б) | ||
| 12.12. а) | б) | ||
| 12.13. а) | б) | ||
| 12.14. а) | б) | ||
| 12.15. а) | б) | ||
| 12.16. а) | б) | ||
| 12.17. а) | б) | ||
| 12.18. а) | б) | ||
| 12.19. а) | б) | ||
| 12.20 .а) | б) | ||
| 12.21. а) | б) | ||
| 12.22. а) | б) | ||
| 12.23. а) | б) | ||
| 12.24. а) | б) | ||
| 12.25. а) | б) | ||
| 12.26. а) | б) | ||
| 12.27. а) | б) | ||
| 12.28. а) | б) | ||
| 12.29. а) | б) | ||
| 12.30. а) | б) | ||
§ 4.2 Индивидуальное домашнее задание по теме: «Производная и ее применение»
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
