85956 (597848), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задача 1. Найти первую производную функции:
Задача 2. Найти первую производную функции:
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8 
2.9. 
2.10. 
2.11. 
2.12. 
2.13. 
2.14. 
2.15. 
2.16. 
2.17. 
2.18. 
2.19. 
2.20. 
2.21.
2.22. 
2.23. 
2.24. 
2.25. 
2.26. 
2.27. 
2.28. 
2.29. 
2.30. 
Задача 3. Найти первую производную функции:
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
3.14. 
3.15. 
3.16.
3.17. 3.18.
3.19. 3.20.
3.21. 3.22.
3.23. 
3.24. 
3.25. 
3.26. 
3.27. 
3.28. 
3.29. 
3.30. 
Задача 4. Найти первую производную функции:
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
4.19. 
4.20. 
4.21. 
4.22. 
4.23. 
4.24. 
4.25. 
4.26. 
4.27. 
4.28. 
4.29. 
4.30. 
Задача 5. Найти первую производную функции:
5.1. 
5.2. 
5.3 
5.4. 
5.5. 
5.6. 
5.7. 
5.8. 
5.9. 
5.10.
5.11.
5.12. 
5.13.
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20.
5.21. 
5.22. 
5.23 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30.
Задача 6. Найти первую производную функции:
6.1. 
6.2. 
6.3. 
6.4. 
6.5. 
6.6. 
6.7. 
6.8. 
6.9. 
6.10. 
6.11. 
6.12. 
6.13. 
6.14. 
6.15. 
6.16. 
6.17. 
6.18. 
6.19. 
6.20. 
6.21. 
6.22. 
6.23. 
6.24. 
6.25. 
6.26. 
6.27. 
6.28. 
6.29. 
6.30. 
Задача 7. Найти п-ую производную функции:
7.1. 
7.11. 
7.12. 
7.13. 
7.14. 
7.16. 
7.17. 
7.19. 
7.20. 
7.22. 
7.24. 
7.25. 
7.26. 
7.28. 
7.29. 
7.30. 
Задача 8. С помощью формулы Лейбница найти указанную производную данной функции:
8.4. 
8.5. 
8.6. 
8.7. 
8.8. 
8.9. 
8.10. 
8.11. 
8.12. 
8.13. 
8.14. 
8.15. 
8.16. 
8.17. 
8.18. 
8.19. 
8.20. 
8.21. 
8.22. 
8.23. 
8.24. 
8.25. 
8.26. 
8.27. 
8.28. 
8.29. 
8.30. 
Задача 9. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной неявно:
9.1. 
9.2. 
9.3. 
9.4. 
9.5. 
9.6. 
9.7. 
9.8. 
9.9. 
9.10. 
9.11. 
9.12. 
9.13. 
9.14. 
9.15. 
9.16. 
9.17. 
9.18. 
9.19. 
9.20. 
9.21. 
9.22. 
9.23. 
9.24. 
9.25. 
9.26. 
9.27. 
9.28. 
9.29. 
9.30. 
Задача 10. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной параметрически:
10.1. 
10.2. 
10.3. 
10.4. 
10.5. 
10.6. 
10.7. 
10.8. 
10.9. 
10.10. 
10.11. 
10.12. 
10.13. 
10.14. 
10.15. 10.16. 
10.17. 
10.18. 
10.19. 
10.20. 
10.21. 
10.22. 
10.23. 
10.24.
10.25. 
10.26. 
10.27. 
10.28. 
10.29. 
10.30. 
Задача 11. Используя геометрический смысл производной, решить следующую задачу:
11.1 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=4х – х2, равна квадрату абсциссы точки касания.
11.2 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1 – х2/4, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.3 Через произвольную точку кривой ху = 4 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.4 Через произвольную точку кривой ху = х+2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.5 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 2/(1 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 1.
11.6 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=3хlnx+5x, равна утроенной абсциссе точки касания.
11.7 Через произвольную точку кривой у = а х3 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 2/3 абсциссы точки касания.
11.8 Через произвольную точку кривой у=х2 + 2/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 3.
11.9 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=5х –2 х2, равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания.
11.10 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у= х2/2 – 1/2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.11 Через произвольную точку кривой ху = 
2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой 
, ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.
11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой 
, равна удвоенной абсциссе точки касания.
11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х4 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.
11.16 Через произвольную точку кривой у = х2 + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.
11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= –3х2–1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.
11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 – 2х2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.20 Через произвольную точку кривой 
проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую 
в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.
11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.
11.23 Через произвольную точку кривой 
проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.
11.24 Через произвольную точку кривой у=3х2 + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.
11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х – х2/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.
11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой 
, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую 
в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.
11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссе точки касания.
Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
12.1. 
12.2. 
12.3. 
12.4. 
12.5. 
12.6. 
12.7. 
12.8. 
12.9. 
12.10. 
12.11. 
12.12. 
12.13. 
12.14. 
12.15. 
12.16
12.17. 
12.18. 
12.19. 
12.20.
12.21.
12.22. 
12.23. 
12.24. 
12.25. 
12.26. 
12.27. 
12.28. 
12.29. 
12.30. 
Задача 13. Исследовать функцию и построить график:
13.1. а) 
, б) 
13.2. а) 
, б) 
13.3. а) 
, б) 
13.4. а) 
, б) 
13.5. а) 
, б) 
13.6. а) 
, б) 
13.7. а) 
, б) 
13.8 а) 
, б) 
13.9. а) 
, б) 
13.10. а) 
, б) 
13.11. а) 
, б) 
13.12. а) 
, б) 
13.13. а) 
, б) 
13.14. а) 
, б) 
13.15. а) 
, б) 
13.16. а) 
, б) 
13.17. а) 
, б) 
13.18. а) 
, б) 
13.19. а) 
, б) 
13.20. а) 
, б) 
13.21. а) 
, б) 
13.22. а) 
, б) 
13.23. а) 
, б) 
13.24. а) 
, б) 
13.25. а) 
, б) 
13.26. а) 
, б) 
13.27. а) 
, б) 
13.28. а) 
, б) 
13.29. а) 
, б) 
13.30. а) 
, б) 
Глава 5. Семинарские занятия
§ 5.1 Cеминар: Применение производной при исследовании функции
Основные вопросы
1. Признаки монотонности функции.
2.Необходимое условие существования экстремума.
3. Критические точки на экстремум.
4. Достаточные условия существования экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
