63394 (597590), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1’ 2’

Рис.2.3. Емкостной фильтр нижних частот (ФНЧ-1)

Р абота ФНЧ-1:

При

При

На малых частотах емкость обладает большим сопротивлением и поэтому весь проходит только через резисторы r, R, не ответвляясь в емкость.

На больших частотах емкость обладает малым сопротивлением. Она закорачивает нагрузку и поэтому выходное напряжение мало.

Определим для этого фильтра АЧХ и ФЧХ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.

Сопротивления плеч фильтра:

Коэффициенты формы А:

Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6):

(2.8)

где - эквивалентное сопротивление при параллельном соединении R и r.

И

(2.9)

з (2.8) получаем фазо-частотную характеристику ФНЧ-1:

Передаточные функции ФНЧ-1 принимают вид:

(2.10)

где - значение передаточной функции на частоте ω=0.

Теперь, по формулам (2.9) и (2.10) можно, при известных значениях R, r, C-элементов, рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ-1).

При изучении частотных характеристик фильтров удобно пользоваться АЧХ ФЧХ в параметрической форме. Для этого необходимо ввести в рассмотрение приведенную, или так называемую нормированную частоту, которая, в данном случае, определяется по формуле

(2.11)

где - граничная частота, на которой реактивное сопротивление емкости равно активному сопротивлению

Запишем (2.9) и (2.10) в параметрической форме:

(2.12)

(2.13)

Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном значении емкости С.

Пример 2. Рассчитать и построить графики при следующих исходных данных:

R=100 Ом – сопротивление нагрузки;

r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника.

Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.

Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5.

Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте ν=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному фильтру на 54,5%.

Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 90⁰. При этом выходное напряжение опережает входное.

2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка

Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные данные и формулируются требования к устройству.

Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно изложить следующим образом:

1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого приведена на Рис.3.2.

2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от 0 до ∞.

3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r, (R>>r).

4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы пропускания (f₁=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на верхней границе f₂ передаточная функция должна принимать значение H(f₂)=H₁.

5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.

В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость, которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции. Однако, в интересах общности изложения последующего материала воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из которой найдем значение приведенной частоты ₂, на которой передаточная функция (2.12) принимает заданное значение H₁:

(2.14)

Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H₁0.

Теперь формулу (2.11) можем записать в виде

откуда находим потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2:

(2.15)

Пример 2.2. Спроектировать ФНЧ-1 Рис.2.3 при следующих исходных данных:

R=100 Ом – сопротивление нагрузки;

r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника;

f₂=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;

H₁=H(f₂)=0,707 – значение передаточной функции на верхней границе полосы пропускания;

₁=(f₂)=0,5 - значение передаточной функции по мощности на верхней границе полосы пропускания.

Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.

Результаты расчетов представлены на Рис.2.6 и Рис.2.7.

Из этих рисунков видно, что на верхней границе полосы пропускания f₂=1000 Гц передаточная функция по мощности (f₂)=0,5, что соответствует требованиям технического задания.

Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями (f₂)=42,071 град. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,545.

Потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2 составляет С=30,17 мкФ.

2.5 Г-образный фильтр нижних частот (ФНЧ-2)

2.5.1 Частотные характеристики ФНЧ-2

В целях повышения коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности применяют фильтры нижних частот второго порядка, в состав которых входят два реактивных элемента: L и C.

Рассмотрим Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8 (см.также Рис.1.6).

L

Z₁

Z₂ C R

Рис.2.8. Электрическая схема Г-образного ФНЧ

Работа Г-образного ФНЧ:

при

п ри

На малых частотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное сопротивление велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением, не ответвляясь в емкость.

На больших частотах индуктивное сопротивление велико, а емкостное сопротивление мало. Ток, прошедший через индуктивность, закорачивается емкостью. Поэтому выходное напряжение мало.

Определим АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.

Комплексные сопротивления плеч фильтра:

Коэффициенты формы А:

Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6) принимает вид:

(2.16)

Обозначим, как и ранее, действительную и мнимую части (2.16):

- действительная часть;

- мнимая часть.

Уравнение (2.16) запишем в виде:

(2.17)

Фазочастотная характеристика ФНЧ-2 определяется по формуле:

(2.18)

Комплексная передаточная функция по напряжению определяется из (2.17):

(2.19)

Модули передаточных функций по напряжению и мощности принимают вид:

(2.20)

Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов, по формулам (2.18), (2.20) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ.

С целью общего анализа частотных характеристик Г-образного ФНЧ представим передаточные функции (2.20) в параметрической форме, для чего обозначим:

- приведенная (нормированная) частота;

- резонансная частота;

- сопротивление индуктивности;

- проводимость емкости;

- волновое (характеристическое) сопротивление;

- коэффициент нагрузки.

После подстановки обозначений в (2.20) получим передаточные функции в параметрической форме:

(2.21)

Пример 2.3. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме для трех значений коэффициента нагрузки:

Определить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при

Расчет передаточной функции по мощности, выполненный по формуле (2.21) приведен на Рис.2.9.

Из Рис.2.9 следует, что при Q₁=0,8 передаточная функция достигает своего максимума, равного 1,86, а затем плавно уменьшается, Этот всплеск передаточной функции может быть желательным или нежелательным в зависимости от конкретного назначения фильтра.

При Q₂=1 всплеск передаточной функции значительно меньше и при он вовсе отсутствует.

Таким образом, характер изменения передаточной функции Г-образного ФНЧ целиком определяется значением коэффициента нагрузки Q, который, в свою очередь, зависит от комбинации значений RLC-элементов. Следовательно, путем соответствующего выбора LC-элементов можно изменить форму кривой передаточной функции.

Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при составляет П=0,807, что значительно больше, чем у ФНЧ-1.

2.5.2 Синтез Г-образного фильтра нижних частот

Техническое задание на проектирование Г-образного ФНЧ формулируется следующим образом.

1. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8.

2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от нуля до бесконечности.

3. Передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания (0…f₂), должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков, превышающих единицу, и на верхней границе полосы пропускания должны принимать значения .

4. Сопротивление нагрузки чисто активное, равное R.

5. Рассчитать потребные значения индуктивности и емкости для построения фильтра. Построить графики АЧХ и ФЧХ, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.

Порядок проведения расчетов состоит в следующем.

Из анализа ТЗ и формул передаточных функций (2.20) следует, что при заданных значениях необходимо найти два неизвестных параметра L и C, при которых фильтр будет удовлетворять требованиям технического задания.

Другими словами, необходимо найти такие значения L, С-элементов, при которых передаточная функция H() проходит через точку на плоскости с координатами _2, H₁.

Математически это означает, что для определения двух неизвестных необходимо составить два независимых уравнения и решить эту систему относительно L и С.

Для составления первого уравнения необходимо из семейства кривых Рис.2.9 выбрать кривую, которая соответствует требованиям ТЗ, и по ней при заданном значении найти значение приведенной частоты ₂.

В данном случае требованиям ТЗ удовлетворяет передаточная функция , построенная при .

Точное значение приведенной частоты определяется путем решения уравнения:

(2.22)

Результаты расчетов по формуле (2.22) при приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

H1	0.707	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1
2	1.0	1.55	1.316	1.513	1.783	2.213	3.154

Найденная приведенная частота ₂ связана с верхней границей полосы пропускания и неизвестной резонансной частотой ₀ следующим соотношением:

Отсюда получаем первое независимое уравнение для определения неизвестных LC-элементов

(2.23)

Выбранная кривая передаточной функции построена при .

Следовательно, второе независимое уравнение можно записать в виде:

(2.24)

Совместное решение (2.23) и (2.24) дает формулы для определения неизвестных LC-элементов:

(2.25)

Теперь по формулам (2.18), (2.20), и (2.25) можно рассчитать потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ, а также рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ этого спроектированного фильтра.

Пример 2.4. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8:

Исходные данные:

R=100 Ом – сопротивление нагрузки;

f₂=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;

H(f₂)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.

Требование к фильтру: передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков и провалов.

Решение. Из Рис.2.9. выбираем кривую , которая удовлетворяет требованиям технического задания.

Из таблицы 2.1 по заданному значению Н₁=Н(f₂)=0,707 выбираем соответствующее значение приведенной частоты ₂=1.

По формулам (2.25) определяем потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ.

По формулам (2.18) и (2.20) рассчитываем АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра и оцениваем коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности этого фильтра.

Результаты расчетов приведены на Рис.2.10 и Рис.2.10а.

Из этих результатов главными являются найденные значения индуктивности и емкости: L=23 мГн и С=1,125 мкФ, при которых передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают заданные значения:

Следовательно, спроектированный Г-образный ФНЧ удовлетворяет требованиям технического задания.

Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Г-образного ФНЧ составляет П=0,807.

Отметим, что изложенный порядок проектирования носит общий характер и может применяться в среде Mathcad при любой комбинации исходных данных: H₁, f₂, R, Q.

2.6 Т-образный фильтр нижних частот

2.6.1 Частотные характеристики Т-образного фильтра нижних частот

В целях дальнейшего повышения коэффициента прямоугольности применяют фильтры третьего порядка, к числу которых относится Т-образный ФНЧ, изображенный на Рис.2.11.

L ₁ L₂

Z₁ Z₃

Z₂ C R

Рис.2.11. Электрическая схема Т-образного ФНЧ

Работа Т-образного ФНЧ

На малых частотах индуктивные сопротивления Z₁, Z₃ малы, а емкостное сопротивление Z₂ велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением.

На больших частотах на пути тока в нагрузку стоят два больших сопротивления индуктивностей L₁ и L₂, а ток, прошедший через L₁ закорачивается малым емкостным сопротивлением.

Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, рассматривая его как Т-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.

Комплексные сопротивления плеч фильтра:

Коэффициенты формы А:

где - коэффициент асимметрии фильтра, который может быть выбран в пределах

Уравнение связи входного и выходного напряжений:

(2.26)

Фазо-частотная характеристика фильтра определяется по формулам (1.8), а передаточная функция по напряжению рассчитывается по формуле (1.10).

Таким образом, при известных значениях RLC - элементов можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, используя формулы (1.8), (1.10) и (2.26).

Представим, как и ранее для Г-образного ФНЧ, передаточные функции по напряжению и мощности в параметрической форме:

(2.27)

П ример 2.5. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме (2.27) для трех значений коэффициента нагрузки:

Результаты расчетов представлены на Рис.2.12.

Из Рис.2.12 следует, что для Т-образного несимметричного ФНЧ оптимальным значением коэффициента нагрузки следует считать Q₂=1,0 при коэффициенте асимметрии , который был определен в результате предварительных исследований.

Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Т-образного несимметричного ФНЧ при Q=1 и равен П=0,905.

2.6.2. Синтез Т-образного фильтра нижних частот

Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный ФНЧ по ТЗ на проектирование Г-образного ФНЧ.

Из Рис.2.11 видно, что в состав Т-образного фильтра входят три неизвестных реактивных элемента: L₁, L₂ и С, которые необходимо определить.

Следовательно, для определения трех неизвестных необходимо составить три независимых уравнения.

Порядок определения L₁ и С аналогичен порядку определения этих элементов для Г-образного ФНЧ.

Из семейства кривых Рис.2.12 выбираем кривую, которая удовлетворяет требованиям ТЗ. В данном случае выбираем кривую которая построена при Q₂=1.

После этого определяем значение приведенной частоты ₂, на которой Н(₂)=Н₁. Для этого решаем следующее уравнение:

в результате получим таблицу 2.2.

Таблица 2.2.

Н1	0,707	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
2	1,5036	1,615	1,730	1,867	2,049	2,327	2,890

Далее, как и для Г-образного ФНЧ, можем записать два уравнения для определения L₁ и С:

Совместное решение этих уравнений дает формулы для определения L₁ и С:

(2.28)

Значение второй индуктивности L2 определяется из условия выбранного коэффициента асимметрии

(2.29)

Пример 2.6. Спроектировать Т-образный ФНЧ, схема которого показана на Рис.2.11.

Исходные данные:

R=100 Ом – сопротивление нагрузки;

f₂=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;

H₁=H(f₂)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.

Передаточные функции H(f) и (f) в полосе пропускания не должны иметь всплесков и провалов.

Решение. Из таблицы 2.2 по заданному значению H₁=H(f₂)=0,707 при Q=1 выбираем значение приведенной частоты ₂=1,5036.

Потребные значения индуктивностей и емкости определяем по (2.28), (2.29).

Расчет передаточной функции по мощности проведем по формуле (1.10), ФЧХ – по формуле (1.8) с учетом (2.26).

Результаты расчетов представлены на Рис.2.14, Рис.2.14а.

Из этого рисунка видно, что потребные значения индуктивностей и емкости для построения несимметричного Т-образного ФНЧ составляют: L₁=24мГн, L₂=11 мГн, C=2,389 мкФ.

Передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают значения: Н(f₂)=0,707, (f₂)=0,5, что и требовалось по техническому заданию.

Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,905.

Характеристики

Список файлов книги