Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

2. Внедиагональные элементы матрицы Y_y отрицательны и Y_jk равны сумме проводимостей ветвей, включенных между j-м и k-м узлами.

3. Произвольный элемент вектора тока J_y с номером j J_j равны сумме узловых токов, втекающих в j-узел.

Тогда l-я ветвь, направленная от узла j к узлу k, приводит к следующему вкладу в матрицы Y_y и J_y:

Так составляются уравнения по методу узловых потенциалов последовательным перебором топологического списка ветвей схемы.

Потенциалы узлов _k равны напряжениям V_k между q-1 узлом и опорным узлом.

3.5 Контурные уравнения

Уравнения на основе второго закона Кирхгофа

CU=CE,

уравнение закона Ома

U=ZI

и соотношение

подставим в контурное уравнение и получим:

.

Токи в обобщенных ветвях определим через контурные токи:

.

Так получаются контурные уравнения:

. (3.15)

Если ввести обозначения

Z_k=СZС^T – матрица контурных сопротивлений,

E_k= СE-СZJ – матрица контурных ЭДС, то контурные уравнения запишутся в виде:

. (3.15а)

В матричной форме решения для контурных токов

(3.16)

выражают принцип наложения.

3.6 Независимые токи и напряжения

Запишем уравнения ЗКТ, используя матрицу главных сечений:

DI=0,

где I – вектор токов ветвей.

Разделив матрицу на блоки, получим:

или

I_P= – FI_X. (3.17)

Токи ребер графа выражаются через токи хорд:

(3.17а)

Токи хорд можно рассматривать как независимые переменные.

Уравнения, составленные по ЗКН,

CU=0,

где U – вектор напряжений на всех ветвях, использовав блочное представление матрицы С, запишем:

.

Напряжение на ветвях хорд выражаются через напряжения на ветвях ребер:

U_X=F^TU_P. (3.18)

Напряжение на ветвях можно представить:

.

Из последнего, с учетом D=[lF], следует:

U = D^TU_P. (3.18а)

Напряжения, соответствующие ребрам графа, можно рассматривать как независимые переменные.

3.7 Типы ветвей

Y-ветвью называют ветвь, представленную проводимостью и описываемую компонентными уравнениями для токов. Ветвь включает проводимости, ветвь ИТУН, ветвь ИТУТ, независимые источники тока (рис. 3.10).

,

где - коэффициент передачи по току;

g_ij – передаточная проводимость.

В матричной форме уравнения для Y ветвей:

. (3.19)

В матрицу проводимостей Y включены проводимости ветвей и и передаточные проводимости. К этим уравнениям присоединяются уравнения многополюсников в Y-форме.

I_M=Y_MU_M.

Рис. 3.10.

Z-ветви характеризуются сопротивлениями и описываются напряжениями.

Обобщенная 2-полюсная Z-ветвь показана на рис. 3.11:

Рис. 3.11.

,

где r_ji – передаточное сопротивление;

– коэффициент передачи по напряжению.

Уравнение Z-ветвей в матричной форме имеет вид:

U_Z=ZI_Z+K^UU_Y-E. (3.20)

В Z матрицу входят сопротивления ветвей и передаточные сопротивления. Уравнения Z-ветвей дополняются уравнениями многополюсников в Z-форме.

U_M=Z_MI_M

Компонентные уравнения обобщенных ветвей:

. (3.21)

3.8 Модифицированный метод узловых потенциалов

(Расширенное узловое уравнение)

В расширенном узловом уравнении переменными являются потенциалы узлов и токи Z-ветвей.

Компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения Y- и Z-ветвей:

I_Y=YU_Y+K^II_Z-J

U_Z=ZI_Z+K^UU_Y-E.

Если первые номера присваиваются Y-, а последующие Z-ветвям, то матрица соединений и вектор-столбец токов могут быть представлены двумя подматрицами:

; ,

а уравнение по первому закону Кирхгофа примет вид:

. (3.22)

Преобразуем это уравнение с учетом закона Ома для Y-ветвей:

.

Тогда, принимая во внимание , получим:

. (3.23)

Закон Ома для Z-ветвей:

с учетом приводит к уравнению

. (3.24)

Уравнения (3.23) и (3.24) объединяются в одно уравнение, получаем расширенное узловое уравнение (РУУ):

. (3.25)

Поставив I₁ и I₃ в первое уравнение, получим расширенное узловое уравнение:

или в матричной форме:

.

Учитывая, что ветви 1, 2, 3, 4 – Y-ветви, а 5, 6 – Z-ветви, запишем матрицу соединений, разделив ее на A_y- и A_z-подматрицы:

= [A_y, A_z].

Приведем матрицы проводимостей ветвей Y, сопротивлений Z и коэффициентов передачи К^I и К^U:

, , , .

Найдем необходимые произведения матриц:

.

Теперь расширенные узловые уравнения: имеют вид:

.

3.9 Вычисления с комплексными числами в MathCAD

В MathCAD определена мнимая единица j: , и, следовательно, определены комплексные числа и операции с ними. Для того, чтобы ввести в MathCAD мнимую единицу, следует набрать на клавиатуре <1><j> (в рабочем документе будет отображен символ i, который MathCAD при таком способе ввода воспринимает как мнимую единицу).

Комплексные числа записывают в MathCAD в общепринятой математической нотации. Это означает, что выражение z=a+bj, где а и b – действительные числа, воспринимается как комплексное число, действительная часть которого равна а, а мнимая – b.

В MathCAD можно определять комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной форме; однако при символьных вычислениях (с помощью знака символьных преобразований или ключевого слова complex) комплексное число все равно отображается в алгебраической форме.

Для вычислений с комплексными числами в MathCAD определены все арифметические операции, а также специфические для комплексной арифметики операции:

• Re(z) – действительная часть комплексного числа z;

• Im(z) – мнимая часть комплексного числа z;

• аrg(z) – главное значение аргумента комплексного числа z;

• – модуль комплексного числа Z;

• =a-jb – число, комплексно сопряженное к числу z.

В MathCAD можно вычислять значения элементарных функций, как действительного, так и комплексного аргумента. Однако при вычислении значений многозначных функций вычисляются только главные значения. Для того, чтобы вычислить все значения многозначных функций, пользователь должен определить их в рабочем документе соответствующими выражениями.

Если уравнение имеет комплексные корни, то MathCAD вычисляет не только действительные, но и комплексные корни.

3.10 Расчет электрических цепей с трансформаторами

Уравнения двухобмоточного трансформатора

Рис. 3.14

могут быть представлены в виде уравнений четырехполюсника в Z-форме:

(3.26)

При выбранном направлении токов и напряжений

.

Цепь с каскадным соединением трансформаторов

Если известно сопротивление вторичной цепи , можно из второго уравнения (3.26) выразить I₂ через I₁ и таким образом пересчитать сопротивление вторичной цепи в первичную:

. (3.27)

Пересчет сопротивления Z₂ из вторичной цепи в первичную дает возможность при известном напряжении на входе трансформатора определить ток первичной цепи. Для определения тока и напряжения вторичной цепи можно воспользоваться уравнением четырехполюсника в В-форме:

, (3.28)

Литература

1. Теоретические основы электротехники: В 3 т. Учебник для вузов. Том 1, 2. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПБ Питер, 2004. – 463, 576 с.

2. Основы теории цепей: Учебник для вузов. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

3. К.С. Демирчян, П.А. Бутырин. «Моделирование и машинный расчет электрических цепей». – М.: ВШ., 1988. – 335 с.

4. И. Влах, К. Сингхал. Машинные методы анализа и проектирование электронных схем. – М.: Радиосвязь, 1988. – 560 с.

5. Данилов Л.В. и др. Теория нелинейных электрических цепей (Л.В. Данилов, П.Н. Матханов, Е.С. Филиппов). – Л.: Энергоатомиздат, Ленинград. отд-ие, 1999. – 256 с.

6. Леон О. Чуа и Пен-Мин Лиин. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). – М.: Энергия, 1980. – 640 с.

7. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD. Математический практикум для инженеров и экономистов: учеб. Пособие – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.

8. Шабалин В.Д. Машинное моделирование электрических цепей. – Кострома: Изд. Костромской ГСХА, 200. – 80 с.

9. Шабалин В.Д. Пересчет сопротивления нагрузки трехфазной цепи, содержащей трансформатор. / Актуальные проблемы науки в агропромышленном комплексе: материалы 58-й международной научно-практической конференции: в 3 т. Т. 3. – Кострома: КГСХА, 2007. с. 184–185.

Характеристики

Список файлов книги