Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице А;

tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы А^*;

rank(A) – вычисление ранга матрицы А;

norm1 (A), norm2 (A), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы А.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняет элементарные операции со строками матрицы);

eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, порядок следования которых отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

eigenvec (A, l) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;

lsolve (A, b) – решение системы линейных уравнений Ax=b.

Задание 1. Определить матрицу А размером 33 с помощью панели Matrix и трансформировать ее.

Создать матрицу В размером 33 с помощью функции Matrix.

Вычислить суммы А+В и В+А, произведения АВ и ВА, исследовать матрицы на симметричность.

Задать единичную матрицу Е 3-го порядка, вычислить произведения ЕА и АЕ.

Сформировать вектор v, представляющий 2-й столбец матрицы А, и диагональную матрицу diag(v).

Определить матрицы С и D, используя функции augment (A, V) и staсk (A, V^T).

Решить систему АХ=V, используя обратную матрицу А^-1 и функцию isolve (A, b).

2. Основные элементы схемы и понятия

2.1 Двухполюсные пассивные элементы

Основными пассивными (двухполюсными) элементами схемы являются сосредоточенные, не зависящие от времени резисторы, индуктивности и емкости.

Резистором называют элемент, для которого текущий ток i и приложенное напряжение u связаны законом Ома:

(2.1)

где R – сопротивление резистора, измеряемое в Омах (Ом), а G – проводимость, измеряемая в Сименсах (См). Напряжение u измеряется в Вольтах (В), а ток i в Амперах (А).

Положительное направление показано на рис. 2.1:

Рис. 2.1

Индуктивность обозначается L и измеряется в Генри (Гн):

Рис. 2.2

Для линейной индуктивности напряжение и ток связаны соотношением

(2.2)

Емкость обозначается с и измеряется в Фарадах (Ф):

Рис. 2.3

Напряжение и ток в емкости описываются уравнением

(2.3)

Соотношения (2.1), (2.2), (2.3) определяют характеристики компонент (схемы), их называют компонентными уравнениями.

Следует заметить, что дифференциальные соотношения (2.2), (2.3) между токами и напряжениями на индуктивности и емкости преобразованием Лапласа преобразуются в алгебраические:

.

Начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях учитываются дополнительными источниками.

Индуктивные и емкостные сопротивления определяются следующим образом:

. (2.4)

Для расчета установившегося режима в линейных цепях при синусоидальном воздействии полагаем S=jω и пренебрегаем начальными токами i_L (0+)=0 и напряжениями u_c(0+)=0.

2.2 Независимые источники

Независимый источник напряжения (ЭДС) обеспечивает заданное значение напряжения на его полюсах независимо от того, какой ток течет через него (рис 2.4):

Рис. 2.4

Независимый источник тока создает заданный ток, а напряжение на его полюсах зависит от цепи, подключенной к источнику (рис 2.5):

Рис. 2.5

2.3 Схемы замещения реальных источников

Независимые источники идеальны и физически нереализуемы. Однако они могут быть использованы для моделирования реальных источников при добавлении других идеальных элементов. Одна из моделей источника напряжений, показанная на рис. 2.6, а, называется схемой Тавенена. Здесь Z_b моделирует внутреннее сопротивление источника (U=E при I=0, , где I_кз - ток при U=0).

Рис. 2.6

Модель реального источника на рис. 2.6, б, где сопротивление Z_b включен параллельно идеальному источнику тока, называется схемой Нортона, а – ток источника тока.

2.4 Зависимые источники

1. Источник напряжения, управляемый напряжением или идеальный усилитель (ИНУН). Уравнения этого четырехполюсника:

i₁=0 u₂=K^uu₁,

где К^u – коэффициент передачи по напряжению

В матричной форме:

(2.5)

На рис. 2.7 приведена схема ИНУН:

Рис. 2.7.

2. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Уравнения этого четырехполюсника:

i₁=0 i₂=gu₁,

где g – передаточная проводимость.

В матричной форме:

. (2.6)

Его схема приведена на рис. 2.8:

Рис. 2.8.

3. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Его уравнения:

u₁=0 u₂=ri₁

или

, (2.7)

где r – передаточное сопротивление.

На рис. 2.9 приведена схема ИНУТ:

Рис. 2.9.

4. Источник тока, управляемый током (ИТУТ) или идеальный усилитель тока (рис. 2.10). Его уравнения:

u₁=0 i₂= Кⁱ i₁

или

, (2.8)

где Кⁱ – коэффициент передачи по току.

На рис. 2.10 приведена схема ИТУТ:

Рис. 2.10

2.5 Элементарные четырехполюсники

1. Идеальный трансформатор определяется с помощью уравнений

U₁=nU₂, I₁=

или

(2.9)

На рис. 2.11 приведена схема трансформатора (а) и его эквивалентная схема (б):

(а) Рис. 2.11 (б)

Гиратор определяется как четырехполюсник, для которого справедливы уравнения:

I₁=-g₂U₂ I₂=g₁U₁. (2.10)

Гиратор можно представить с помощью двух ИТУН (рис. 2.12):

Рис. 2.12

Если постоянные гирации равны, т.е. g₁=g₂=g, то гиратор называется идеальным. Уравнения (2.10) можно переписать в форме:

(2.11)

а схема гиратора приведена на рис. 2.13:

Рис. 2.13.

2.6 Операционный усилитель

К активным многополюсникам относится операционный усилитель (ОУ), имеющий дифференциальный вход с очень большим входным сопротивлением, малое выходное сопротивление и высокий коэффициент усиления. Условное обозначение ОУ и его схема замещения приведены на рис. 2.14:

Рис. 2.14.

2.7 Законы электрических цепей

Ток и напряжение относятся к некоторой обобщенной k-ой ветви, содержащей источник тока и источник ЭДС (рис. 2.15):

Рис. 2.15.

Согласно первому закону Кирхгофа применительно к узлу m’ (или n’) на рисунке, имеем:

(2.12)

Согласно второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по проводникам ветви k от узла m к n, и по внешнему пространству – от узла n к m, имеем:

(2.13)

Последние выражения связывают токи и напряжения в обобщенных ветвях графа, изображаемых в графе схемы отрезками, с токами и напряжениями ветвей и источниками тока и ЭДС, когда таковые содержатся в исходной схеме.

При записи уравнений, согласно законам Кирхгофа для графа схемы будем иметь в виду, что в эти уравнения войдут токи и напряжения обобщенных ветвей схемы цепи. Следовательно, для графа схемы можно написать:

и или и . (2.14)

В случае установившихся процессов мгновенные значения токов и напряжений заменяются их комплексными действующими значениями, при применении преобразования Лапласа их операторными изображениями (хотя в последнем случае необходимо начальные условия токов на индуктивностях и напряжения на емкостях учитывать дополнительными источниками), и в этом случае уравнения (2.14) принимают вид:

.(2.14а)

2.8 Функции цепи. Полюсы и нули

Функции цепи определяются для схем, не имеющих начальных напряжений на емкостях и токов в индуктивностях.

Используя символические выражения Z_L=sL, Y_C=sC и допуская, что существует единственный источник, определяем функции цепи следующим образом:

– входное сопротивление; (2.15)

– входная проводимость; (2.16)

– коэффициент передачи по напряжению; (2.17)

– коэффициент передачи по току; (2.18)

– передаточное сопротивление; (2.19)

– передаточная проводимость. (2.20)

Если цепь состоит из сосредоточенных элементов, то все функции цепи представляют собой рациональные функции от S:

. (2.21)

Полином в числителе имеет n корней z_i, называемых нулями, а полином в знаменателе – m корней р_i, называемых полюсами.

С точностью до постоянного множителя k расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости полностью определяет свойства функции цепи.

Отклик линейной схемы на синусоидальное воздействие можно рассчитать, положив в выражении для функции цепи S=j, тогда

, (2.22)

где А(ω) – четная, а В(ω) – нечетная функции ω.

Модуль функции F:

. (2.23)

Фазовый сдвиг определяется по формуле:

. (2.24)

Характеристики

Список файлов книги