Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если для верна оценка , тогда

. (2)

Доказательство.

Существует такой функционал , что

и ,

где - собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал к (1):

,

,

.

Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому

.

Заменив на , мы только усилим неравенство (т.к. ):

.

Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

; ; ; ,

поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .

При получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:

Пусть оператор неразложим и , K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .

Эта теорема является частным случаем теоремы 1.

Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .

Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Пусть - воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и для некоторого выполняется неравенство

,

где , . Тогда

.

Если для верна оценка , тогда

.

Теорема 3. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Пусть для некоторого выполняется неравенство

, (3)

где , . Тогда верна оценка:

,

где - наименьшее позитивное собственное значение оператора .

Доказательство.

Применим к (3) функционал из теоремы 1:

.

Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому

.

Т.к. , то заменив в последнем неравенстве на , только усилим его:

,

таким образом . Теорема доказана.

Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор также неразложим, тогда будет верна оценка:

.

Теорема 4. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и пусть для некоторого выполняется неравенство

,

, . Если спектральный радиус оператора известен и , то

.

Если для известна оценка и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .

Доказательство.

Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству

. (4)

Предположим, что , тогда, усиливая неравенство (4), получим

,

,

что противоречит предположению. Остается принять, что . Усиливая неравенство (4), получим

.

Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4) на большее число , повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим и для некоторого выполняется неравенство

,

, . Если наименьшее позитивное значение оператора известно и , то

.

Если для известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .

Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.

Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор также неразложим, спектральный радиус оператора известен и , тогда верна оценка:

.

Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого выполняется неравенство

,

где , и , то верна оценка:

.

Доказательство.

Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству

, (5)

из которого следует, что . Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что , и усилив неравенство (5), получим

,

что противоречит условию. Остается принять, что . Усиливая неравенство (5), получим , откуда следует

.

Теорема доказана.

Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.

Глава III.

Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца

§1. Пространства Лебега и Лоренца

Введем понятие группы преобразований [5]. Пусть есть два преобразования f и g. G называется группой, если для любых f и g, таких, что выполняются следующие условия:

1. ;

2. (I - единичное преобразование, );

3. ( -обратное преобразование).

Очевидно, преобразования вида образуют группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение двух векторов является инвариантом. Если X и - тензоры, то инвариантом группы Лоренца будет

.

Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.

Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца: .

Рассмотрим положительно определенные формы. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть

, (1)

Для x_i из области R, определенной соотношениями

(2)

Тогда для

(3)

Доказательство.

Применим метод квазилинеаризации, покажем, что

, (4)

где S(z) – область, определенная соотношениями

(5)

Применяя неравенство Гельдера, получаем

(6)

Минимум последнего выражения как функции от в силу условий (2) и (5) достигается в точке, где

,

и равен . Отсюда следует представление (4). Из этого представления следует теорема 1. Приведенное доказательство принадлежит Беллману [5].

Лебеговские функциональные пространства

Пусть , Лебеговским функциональным пространством называется совокупность всех вещественнозначных (соответственно - комплекснозначных) измеримых по Лебегу функций (соответственно - ) [14], таких, что интегрируема на X, т.е.

Число

называется нормой функции f в пространстве L_p(X). Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое покрытие X, имеющее кратность.

При этом:

• покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр;

• кратностью конечного покрытия пространства X называется такое наибольшее целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Наиболее важными свойствами лебеговских пространств являются следующие [17], [23]:

1). (Неравенство Гельдера). Пусть p>1, q>1, 1/p+1/q=1 и , . Тогда , и выполнено неравенство , т. е. .

2). (Неравенство Минковского). Если и , то ,и имеет место неравенство , т. е. .

Приступая к доказательству неравенства Минковского, заметим, что при p=1 оно очевидно. Если p>1, то можем написать

.

Найдем положительное число q из условия 1/p+1/q=1 и применим неравенство Гельдера к каждому из интегралов, стоящих в правой части последней формулы. Тогда

.

Последнее равенство здесь написано в силу того, что q(p-1)=p.

Разделив начальный и конечный члены полученного неравенства на

и учтя, что 1-1/q=1/p, получим

,

что и завершает доказательство неравенства Минковского.

Следующее свойство лебеговских функциональных пространств существенно опирается на неравенство Минковского:

3). Для любого пространство L_p(X) с введенной выше нормой является линейным нормированным пространством.

Для доказательства заметим, что если , то для любого числа функция лежит в L_p(X) (что очевидно), и f+g лежит в L_p(X) (в соответствии с неравенством Минковского). Неотрицательность нормы очевидна. Условие только при f=0 выполняется, в силу принятого в теории интеграла Лебега соглашения, что функция f равна нулю на множестве X , если и только если f(x)=0 для почти всех . Неравенство треугольника для нормы выполняется в силу неравенства Минковского. Положительная однородность нормы видна непосредственно из определения (2).

Конструкция интеграла Лебега ценна не столько тем, что она позволяет расширить класс интегрируемых функций по сравнению с интегралом Римана (известны еще более общие конструкции интеграла), сколько тем, что интеграл Лебега обладает наиболее естественными и удобными свойствами. Одно из них, принимаемое нами без доказательства, таково:

4). (Полнота лебеговских пространств). Для любого линейное нормированное пространство L_p(X) является полным, другими словами - всякая фундаментальная последовательность функций из L_p(X) сходится к некоторой функции из L_p(X) , т.е., если и для каждого существует номер n_o такой, что для всех выполняется неравенство , то существует функция такая, что при .

5). (Плотность бесконечно дифференцируемых функций в L_p(X)). Для любого множество бесконечно дифференцируемых функций плотно в L_p(X), иными словами - для любой функции и любого найдется функция такая, что .

6). (Сепарабельность лебеговских пространств). Для любого пространство L_p(X) сепарабельно, иначе говоря, в L_p(X) существует счетное плотное множество функций.

§2. Условия ограниченности интегрального оператора в

пространствах Лоренца

Пусть

Характеристики

Список файлов ВКР