Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

и уравнения Гаммерштейна

Уравнения I и II рода

Если α(t) ≠ 0 при всех t [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

(2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

(3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f (4)

и

0 = Ix + f (5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E₁, E₂) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f E₂ уравнение имеет единственное решение x E₁ и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||_E1 ≤ ||f ||_E2.

Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)^–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I^–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения

типа свертки

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

(6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

(5)

где

.

Умножение (7) на η_j и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных c_j:

в которой

,

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):

Название наследуется от интегрального оператора свертки

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения , при которых уравнение

,

где – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется спектром оператора и обозначается . Спектральным радиусом оператора называется число, определенное формулой

, .

Если уравнение

при данном имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным значением оператора , а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение называется позитивным, если и отвечающий ему собственный вектор принадлежит конусу .

Глава II

Оценки спектральных радиусов интегральных операторов

§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных

операторов

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

x = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число называется регулярным значением оператора А, если оператор

(I - A)

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается (А).

Спектральным радиусом (А) оператора А называется следующая величина:

.

Для ограниченного оператора А спектральный радиус (А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

(А) < A.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда (А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).

Более того, при несущественных дополнительных предположениях (А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x^* К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)<1, (1)

где r(A) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:

1⁰) A=(a_ij) (i,j=1,2,3…); (2)

2⁰) A – интегральный оператор вида

, (3)

где - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства R^m, K(t,s) – измеримая по s почти при всех значениях t функция, для которой при некоторых p>1 и выполняется условие:

. (4)

При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве L_p() и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].

Введем в рассмотрение следующие функции

, . (5)

Теорема 1. Пусть для некоторого [0,1] выполняется следующее неравенство

P(t)Q^1-(t)1 (t) (6)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:

1⁰) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

2⁰) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества , mes>0, оператор А – неразложим в пространстве L_p().

Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве L_p() меньше чем единица:

r(A)<1.

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C() и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C().

Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида

,

где - фиксированный элемент из , вытекает оценка снизу

для спектрального радиуса линейного положительного оператора , а из неравенства вида

(7)

(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для вида

. (8)

Для этого, например, достаточно, чтобы конус был телесным и нормальным, и чтобы был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки сверху, оценка снизу верна при единственном предположении о том, что .

Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида

, (9)

где - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка

? (10)

При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов и на фиксированном элементе конуса .

Теорема 2. Пусть конус - телесен и нормален, - внутренний элемент конуса . и - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.

. (11)

Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполняется неравенство

,

тогда для спектральных радиусов и операторов и справедливо следующее неравенство:

.

Доказательство.

Перейдем в пространстве к - норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус нормален. Тем самым пространство будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора справедливо равенство

. (12)

Действительно, из неравенства

,

справедливого для любого , в виду положительности оператора следует, что

,

откуда, учитывая монотонность -нормы, получим

,

и, следовательно, по определению нормы оператора

. (13)

С другой стороны, из свойств нормы следует, что

. (14)

Из (14) и (13) следует равенство (12).

Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем

. (15)

По индукции легко доказать, что для любого имеет место неравенство

,

и в силу монотонности -нормы

.

Поэтому, согласно (12),

. (16)

Т.к. в силу эквивалентности -нормы и нормы пространства можно написать, что

, , (17)

то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.

Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:

.

Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из

следует оценка

. (18)

Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.

Теорема 3. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор неразложим, тогда операторы и имеют общий собственный вектор.

Доказательство.

Пусть - собственный вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы и коммутируют, то для любого имеем:

.

Тогда

,

следовательно - собственный вектор оператора , . Т.к. - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:

,

где .

Тем самым у оператора есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов и есть общий собственный вектор .

Теорема доказана.

Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.

Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность линейных положительных операторов, из которых хотя бы один является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что для всех , где для каждого . При этом .

Доказательство.

На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из имеют общий собственный вектор ( ), причем .

является собственным значением соответствующего оператора и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор оператора и собственный функционал оператора , где - сопряженная к полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим

и .

Теорема доказана.

Приведем достаточно известный [22] результат.

Теорема 5. Если , то уравнение

(19)

имеет единственное решение

,

которое является пределом последовательных приближений

(20)

при любом .

Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана

.

Перейдем к рассмотрению строгих оценок.

Теорема 6. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство

, ( ).

Пусть выполнено одно из условий:

1. вполне непрерывен, - квазивнутренний элемент ;

2. конус телесный и нормальный, - внутренний элемент ;

3. оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный;

4. оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ;

5. оператор допускает представление

,

где - вполне непрерывен, , конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .

Тогда справедливо строгое неравенство

.

Доказательство.

В силу теоремы 5 уравнение

имеет решение

.

Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству

. (21)

Т.к. - неразложим, то из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом выполнено неравенство

. (22)

В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению оператора . Тогда

,

и из (22) вытекает

.

Откуда

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют, т.к. если операторы и полукоммутируют, и оператор неразложим, то имеет место равенство:

,

т. е. операторы и коммутируют.

Замечание 2. Используя равенство

можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства

вытекает оценка

.

Пример. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

; ; , .

Имеем , , т.е. . Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно

.

В то время как точное значение спектрального радиуса: .

Заметим, что использование коммутирующего оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .

§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора

Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].

Теорема 1 . Пусть - матричное ядро. . Функции , заданны в квадрате , за исключением прямой t=s, , . Пусть r= -спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда

, где p>0, q>0, 1/p + 1/q =1,

где

. (1)

Доказательство.

Рассмотрим систему

. (2)

Так как - спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

(3)

Представим (4)

Вычтем почленно из (2) тождество (4):

.

Так как , то , таким образом:

Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,

получим:

=

=

согласно (4)

=

учитывая (1) и (3)

.

Возведем обе части в степень q.

, тогда

Проинтегрируем по t

,

учитывая (3) получим:

или

Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.

Теорема 2. Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве

.

Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора в пространстве ,

, ,

докажем, что

.

Для доказательства теоремы рассмотрим систему

. (5)

Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

(6)

Умножим обе части уравнения (5) на . Получим

. (7)

С учетом (5) ,

тогда (7) запишется следующим образом:

(8)

Умножим обе части выражения (8) на , получим

. (9)

Проинтегрируем обе части выражения (9) по

.

Тогда

Учитывая (6),получим

Из неравенства Гельдера для

получим

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.

§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного

положительного оператора

В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента со значением комбинации элементов , где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого и выполняется неравенство

, (1)

то

.

Характеристики

Список файлов ВКР