114631 (591656), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В данной работе представлены как теоретический материал, так и практические упражнения. Физические модели и явления, рассматриваемые во второй главе, не выходят за рамки школьной программы по физике, а, следовательно, не требуют от учащихся дополнительных знаний по предмету, что удовлетворяет принципу доступности изложения материала, который в свою очередь сочетается с принципом достаточно высокого уровня трудности. Также в данной работе реализованы принципы наглядности (чертежи, графики к задачам), систематичности и последовательности в обучении.

Использование данной методики формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся.

У учителя при использовании данной методики есть возможность выбора пути изложения материала в соответствии с особенностями мышления и восприятия учащихся, а также в соответствии с их подготовкой по математике и физике. Например, учитель классов курса А может взять лишь некоторые факты данной методики, учитель же классов с углубленным изучением математики и физики может использовать всю методику целиком. В любом случае, данная работа может помочь каждому учителю в преподавании темы «Интеграл».

На мой взгляд, применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике, формированию мировоззрения учащихся.

Библиография

1. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993. – 254 c.

2. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2001. – 432 с.

4. Виленкин, Н. Я., Куницкая, Е. С., Мордкович, А. Г. Математический анализ. Интегральное исчисление [Текст]: Уч. пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1979. – 175 с.

5. Задачи как средство обучения алгебре и началам анализа в X классе [Текст]: Уч. пособие// Сост. Е. С. Канин. – Киров: Редакционно-издательский совет Кировского ГПИ имени В. И. Ленина, 1985. – 92 c.

6. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие для студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч. I// Под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 343 с.

7. Зельдович, Я. Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике [Текст]: Уч. пособие для физико-математических средних школ и проведения факультативных занятий. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

8. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 1998. – 365 c.

9. Модели и моделирование в методике обучения физике [Текст]: Материалы докладов республиканской научно-теоретической конференции. – Киров: Изд-во Вятского ГПУ, 2000. – 90 с.

10. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Ч. I. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.

11. Никольский, С. М. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 11 класса общеобразоват. учреждений/ С. М. Никольский, М. К. Потапов. - М.: Просвещение, 2003.

Приложение

Опытное преподавание

Конспект факультативного занятия

Тема: Свойства интеграла.

Класс: 11 класс.

Триединая цель:

I. Образовательный аспект:

1. изучить свойства интеграла, продемонстрировать учащимся применение физических моделей при изучении свойств интеграла (межпредметную связь математики и физики);

2. научить применять свойства при вычисления интеграла, при решении задач математики и физики.

II. Развивающий аспект:

1. создать условия для развития практического, абстрактного и логического мышления учащихся.

III. Воспитательный аспект:

1. создать условия для осмысления ценности математических и физических знаний как средства познания мира.

Ожидаемый результат факультатива:

Репродуктивный уровень: знание свойств интегралов, умение применять их для вычисления интеграла.

Конструктивный уровень: умение применять свойства интеграла для решения простейших математических и физических задач.

Творческий уровень: умение применять свойства интеграла для решения нетривиальных текстовых задач с математическим и физическим содержанием.

Методы обучения, применяемые на факультативе:

• Объяснительно-иллюстративный

• Частично-поисковый

Формы организации познавательной деятельности учащихся:

• Фронтальная

• Индивидуальная

Формы контроля:

Контроль со стороны учителя

План:

I. Организация деятельности (1-2 мин.).

II. Актуализация знаний (2-3 мин.).

III. Изучение нового материала (25 мин.).

IV. Решение задач (10-12 мин.).

Литература: [2], [8].

Содержание.

Мотивация: Рассмотрим задачу. Скорость тела задается формулой v(t)=t³-2t²-1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.

Решение. Путь пройденный телом за первые 10 с после начала движения вычисляется по формуле

Как же вычислить интеграл от такой функции?

Для этого рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

. (1)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F₁(x)+F₂(x). Работа этой силы равна

. (2)

В силу равенства левых частей в формулах (1) и (2), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Попробуйте самостоятельно доказать, что если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то тогда верно следующее равенство

.

Тогда, возвращаясь к исходной задаче, можно сделать следующую запись

.

Как видно из формулы под знаком интеграла остались постоянные множители.

Теперь проверим можно ли за знак интеграла вынести постоянный множитель.

Вспомним рассмотрение задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой была получена формула

, (3)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (4)

В силу равенства левых частей в формулах (3) и (4), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

.

Данное свойство показывает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Тогда применяя это свойство к решению исходной задачи, получаем

.

Выведенные формулы называются свойствами линейности интеграла.

Но интеграл обладает и другими свойствами, которые необходимо знать для решения задач. Одно из таких свойств выглядит следующим образом

.

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки [с.18].

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t₁, t₂, …,t_n-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что

, (5)

так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых.

Следующее свойство называется свойством аддитивности интеграла

.

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки [с.18].

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

a

c

b

t

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

. (6)

При помощи соотношения (5) можно распространить формулу (6) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (5)

. (7)

Таким образом, получили равенство (7), в точности совпадающее с (6).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов), которые нужно самостоятельно разобрать и убедиться, что формула (6) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.

Ещё одно свойство интеграла звучит так:

если на отрезке [a; b], то .

Вспомним формулу для вычисления массы стержня по известной плотности.

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Далее учащимся для самостоятельного решения предлагаются следующие задачи:

1) на вычисление интеграла ([2] стр.264 №11 8)-9), 15)-16), 23));

2) с физическим содержанием ([8] стр.193 №373, 374, 376; [2] стр.269 №3)

Замечание. Данная методика изучения свойств интеграла возможна при условии, что учащиеся знают все используемые при доказательствах формулы. Этого можно добиться, вводя понятие интеграла следующим образом. Методом дифференциалов, а конкретно на задаче о перемещении точки вводится понятие интеграла, затем этим же методом выводится формула для вычисления массы стержня по известной плотности. Далее поясняется, что интегралы можно приближенно вычислять с помощью составления интегральных сумм, и именно с этим методом исторически связано появление понятия интеграл. Этот метод рассматривается на задаче о давлении жидкости на стенку и на задаче о работе силы.

Анализ. Данные свойства интеграла, как известно, можно вывести и другим способом (например, с помощью формулы Ньютона-Лейбница и с использованием свойств площади криволинейной трапеции). Но используемые в доказательствах физические модели, во-первых, наглядны, а, следовательно, легче воспримутся учащимися, позволят лучше запомнить свойства и оставят в памяти учащихся наглядное представление о каждом из свойств. Во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы (а, следовательно, и сами формулы лучше отложатся в памяти учащихся). Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении. Учитывая, что понятие интеграла вводилось через физические модели, а свойства вводятся аналогично, то при данной методике выполняется и принцип последовательности и систематичности в обучении, и принцип доступности. Выше описаны ценные стороны факультатива, но есть и недостаток – данная методика подходит не для всех учащихся. Например, в гуманитарных классах она не применима, данным классам достаточно иметь общее представление об интеграле.

Характеристики

Список файлов ВКР