112803 (591183), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Преимущество учебника [7] в том, что после каждого пункта идет список вопросов и задач, в то время, как в учебнике [8] практическая часть представлена небольшим количеством задач. Но основная тематика задач двух учебников похожа друг на друга. Далее порядок изучения тем расходится. В учебнике [8] предлагается рассмотреть объем наклонного параллелепипеда, причем доказательство сводится к добавлению и отсечению треугольной призмы. Тогда доказательство будет опираться на формулу прямоугольного параллелепипеда.

Используя следствие теоремы и свойства объемов, доказывается формула объема прямой призмы, также в два этапа. Сначала для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник, а затем более общий случай – для произвольной призмы. При доказательстве авторский коллектив учебника [7] опирается на выведенную формулу объема прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник. Поэтому на втором этапе учащиеся легко могут доказать формулу для произвольной прямой призмы, разбив основание на треугольники.

Автор учебника [8] при доказательстве теоремы об объеме призмы, дополняет сначала её до параллелепипеда; используется свойство симметрии для того, чтобы показать, что достроенная призма симметрична исходной, а следовательно их объемы равны. Учащиеся уже умеют находить объем параллелепипеда, а площадь основания (состоящая из двух треугольников) они умеют находить еще из планиметрии. Следовательно, они смогут найти объем призмы. Далее Погорелов рассматривает произвольную призму. Так же как и Атанасян, Погорелов разбивает основание призмы на треугольники. Затем находит объем каждой такой призмы, а уже затем по определению объемов находит объем данной призмы (как сумма объемов треугольных призм, её составляющих).

§ 3 Методика изучения темы «Объемы пирамиды»

На изучение темы «Объем пирамиды» целесообразно отвести три урока.

На первом уроке следует рассмотреть доказательство теоремы об объеме пирамиды. Основная цель данного урока – вывести формулу для нахождения объема пирамиды, показать применение теории к решению задач.

Для этого необходимо предложить ученикам задачи на нахождение площади поверхности пирамиды, вспомнить основные элементы, свойства. Предложить учащимся задачи на нахождение площади основания и т.д.

Используя текст учебника, необходимо подробно разобрать, как получается выражение для площади сечения пирамиды через площадь ее основания:

S(x)= .

Вычислить интеграл учащиеся могут самостоятельно.

Второй урок можно посвятить повторению вопросов теории и решению задач. При подведении итогов урока можно использовать вопросы 4, 5 к главе VII учебника [7], а также задачи:

• Д

  Рис. 6

  окажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (рис. 6). Какие многоугольники могут быть основанием таких пирамид?

Д

Рис.7

окажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенных из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 7). Какие многоугольники могут быть основанием таких пирамид?

На третьем уроке выводится формула объема усеченной пирамиды как следствие теоремы об объеме пирамиды. В учебнике [7] предлагается вывести эту формулу самостоятельно.

В конце данного урока проводится самостоятельная работа по учебнику [7] контролирующего характера (на 6-8 мин):

Вариант I: задача № 686 (а) для l = 10 см, = 30⁰.

Вариант II: задача № 688(а) для Н = 10 см, = 60⁰.

Можно провести практическую работу (учитывается как контрольная). Учитель заранее подготавливает модели правильных пирамид (4-6) для работы в классе. Модели, покупные или изготовленные учащимися, перенумеровываются и раздаются по одной. Учащийся не получает ту модель, которую он сам изготовил. Учитель имеет готовые ответы. Измерения производятся в см или в мм.

Указания даются устно:

1. Вместо буквы n поставить цифры 4 или 6.

2. Выполнить все необходимые измерения, сделать чертеж, заполнить таблицу.

3. Выражение для вычисления площади основания Q записать.

4. Все вычисления записывать в таблицу.

Дополнительное задание (подготавливается учителем на карточках и предлагается учащимся):

1. По развертке, данной в масштабе, вычислить действительные площадь полной поверхности и объем: 1) правильной призмы (рис. 8); 2) правильной пирамиды (рис. 9)

Рис.8

Рис.9

Указание: при выполнении в тетради чертежей пирамиды и призмы учащийся может взять произвольные размеры основных элементов.

1. Вычислить объем башни, размеры которой в метрах даны на рисунке 10.

Вывод формулы объема пирамиды в учебнике [7] рассматривается в два этапа (Приложение 7). Вначале автор предлагает рассмотреть для треугольной пирамиды, а затем – для произвольной. Автор проводит ось, рассматривает сечение плоскостью, выражает площадь сечения через площадь основания, применяет основную формулу для вычисления объемов (определенный интеграл). В доказательстве автор также использует признаки подобия. Таким образом, хорошо прослеживается связь с ранее уже изученным.

Следствием теоремы, в отличие от [8], является формула объема для усеченной пирамиды. Доказательства в данном учебнике не приведено. В учебнике [7] формулировка формулы приведена, как задача, причем автор сам задачу решает.

Мы рассмотрели основные рекомендации для изучения данной темы, которые описаны в соответствующей литературе. Но есть и другие приемы и методы, которыми практически не пользуются, но они имеют свои преимущества. Далее приведена примерная (авторская) система данных уроков.

И

Рис.10

зучение темы «Объемы многогранников» предлагается вести по схеме, отличной от предлагаемой ранее в данной работе.

Дело в том, что объемы тел – тема, вызывающая достаточно большие трудности у учащихся. В этом разделе есть четыре трудных для усвоения теоремы: 1) об объеме прямоугольного параллелепипеда; 2) об объеме пирамиды; 3) об объеме цилиндра; 4) об объеме тела, полученного вращением криволинейной трапеции [21].

Выводы формул для вычисления объема каждого вида многогранника, цилиндра, конуса проводятся разными методами, что вызывает значительные трудности при их воспроизведении.

Предлагаемая мною система изучения этого раздела устраняет недостатки и создает условия для усвоения основной идеи измерения фигур в пространстве: объем фигуры может быть найден с помощью вычисления интеграла от определенным образом заданной функции.

С целью осуществления такого подхода к измерениям пространственных фигур предлагается посвятить несколько уроков обобщению изученного ранее материала об измерении отрезков и плоских фигур (о длинах и площадях) и ввести аналогичным образом измерение пространственных фигур. Рассмотрим их содержание более подробно.

Урок 1

Тема урока: обобщение свойства длин отрезков и площадей плоских фигур.

Цель урока: повторить свойства длин отрезков и площадей фигур, провести необходимые аналогии.

В начале урока необходимо повторить таблицу метрической системы мер длины, площади и объемов. Для этого удобно заготовить такую таблицу заранее (если ее нет в кабинете) и вывесить ее перед учениками (Приложение 4).

Упражнения для повторения свойств площадей фигур:

1. На рис. 11 изображен отрезок АВ. Найдите длину отрезка АВ, считая единицей измерения: а) сторону одной клетки; б) 1 см (отрезок CD); в) отрезок EF.

При решении этой задачи следует акцентировать внимание учащихся на том, что длина одного и того же отрезка может выражаться разными числами в зависимости от выбора единицы измерения. Но если единица измерения уже выбрана, то длина отрезка есть единственное число. При этом длина отрезка всегда положительна.

1. На рис. 12 изображена плоская фигура ABCDEF. Найдите ее площадь, приняв за единицу измерения: а)половину клетки; б) одну клетку; в) треугольник POQ.

При решении этой задачи следует обратить внимание учащихся на то, что площадь плоской фигуры есть число, которое зависит от выбора единицы измерения. Если единица измерения выбрана, то площадь фигуры единственна. Кроме того, площадь фигуры обязательно неотрицательна, какая бы фигура ни была взята в качестве единицы измерения.

Р

Рис.11

Рис.12

ис. 12

1. Прямоугольник имеет стороны 5 и 4 см. Какова площадь прямоугольника? Какая фигура выбрана за единицу измерения площадей и какова его площадь?

2. П

   Рис.13

   лоская фигура ABCDEFGH состоит из двух прямоугольников ABGH и CDEF, площади которых соответственно 10 и 5 см². Найдите площадь фигуры ABCDEFGH (рис. 13).

Решая эту задачу, мы пользуемся таким свойством площадей плоских фигур: если плоская фигура разбита на две, общая часть которых есть линия или точка, то площадь всей фигуры равна сумме площадей, ее составляющих.

1. Т

   Рис.14

   реугольники ABC и A₁B₁C₁ конгруэнтны. Площадь ABC равна 36 см². Какова площадь A₁B₁C₁?

Решив этот комплекс задач, можно сделать выводы, сформулировав их как свойства измерения площадей плоских фигур.

Упражнение для закрепления:

1. Докажите, что два треугольника, на которые диагональ делит параллелограмм, имеют равные площади.

2.Основание прямоугольника в два раза больше его высоты. Покажите на рисунке: а) как нужно разрезать этот прямоугольник на две части, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник; б) как разрезать его на две части, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник; в) как разрезать его на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат. Что можно утверждать о площадях этих фигур (рис. 14, а-в)?

Урок 2

Тема урока: объем тела.

Цель урока: сформулировать основные свойства объемов.

Измерение объемов пространственных фигур должно удовлетворять свойствам, аналогичным свойствам измерения длин отрезков и площадей плоских фигур.

Учитель формирует следующие свойства.

Каждой пространственному тел ставится в соответствие величина (объем тела), причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

• объем любого тела неотрицателен;

• конгруэнтные тела имеют равные объемы;

• если тело М есть объединение тел М₁ и М₂, пересечение которых либо содержит только точки или линии поверхностей обоих тел, либо пусто, то объем тела М равен сумме объемов тел М₁ и М₂;

• объем куба, длина ребра которого равна 1, равен единице.

Упражнения для закрепления свойств объемов пространственных фигур:

1. Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, объем которого 18 см³, разделен сечением KLMN на два конгруэнтных тела (рис. 15). Найдите объем каждой части.

2. Из кубов, длины ребер которых равны 1 см, составлена фигура, изображенная на рис. 16. Вычислите ее объем.

Рис. 16

1. Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ разделен плоскостью АСС₁А на две треугольные призмы, объем одной из которых равен 8 см³. Найдите объем параллелепипеда.

Рис.15

Рис.17

Характеристики

Список файлов ВКР