86388 (589974), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Якщо функція f парна (непарна), то й функція 1/f парна (непарна).

Приклад 2.4.1 чи Може при якому-небудь значенні а рівняння

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

мати 5 корінь?

Рішення. Позначимо f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функція парна, тому, якщо x₀ – корінь даного рівняння, те -x₀ – теж. x = 0 не є коренем даного рівняння (0 ? 5). Отже, число корінь у цього рівняння при будь-якому дійсному а парне, тому 5 корінь воно мати не може.

Відповідь: не може.

2.5 Використання ОПЗ функції

Область визначення функції - це множина всіх припустимих дійсних значень аргументу x (змінної x), при яких функція визначена. Область визначення іноді ще називають областю припустимих значень функції (ОПЗ). Для знаходження ОПЗ функції потрібно проаналізувати дану відповідність і встановити заборонні операції, що зустрічаються (ділення на нуль, піднесення в раціональний ступінь негативного числа, логарифмічні операції над негативними числами й т.п.).

Іноді знання ОПЗ дозволяє довести, що рівняння (або нерівність) не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння (або нерівності) безпосередньою підстановкою чисел з ОПЗ.

Приклад 2.5.1 Вирішите рівняння

. (8)

Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх х, одночасно задовольняючим умовам і , тобто ОПЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння й завершується, тому що встановлено, що жодне число не може бути рішенням, тобто що рівняння не має корінь.

Відповідь: O.

Приклад 2.5.2 Вирішите рівняння

. (9)

Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх x, одночасно задовольняючим умовам , , , тобто ОПЗ є . Підставляючи ці значення х у рівняння (9), одержуємо, що його ліва й права частини рівно 0, а це означає, що всі , є його рішеннями.

Відповідь:

Приклад 2.5.3 Вирішите нерівність

. (10)

Рішення. ОПЗ нерівності (10) є всі х, що задовольняють умові . Ясно, що х = 1 не є рішенням нерівності (10). Для х із проміжку маємо , а . Отже, всі х із проміжку є рішеннями нерівності (10).

Відповідь: .

Приклад 2.5.4 [26] Вирішите нерівність

. (11)

Рішення. ОПЗ нерівності (11) є всі х із проміжку . Розіб'ємо цю множину на два проміжки й .

Для х із проміжку маємо , . Отже, на цьому проміжку, і тому нерівність (11) не має рішень на цьому проміжку.

Нехай х належить проміжку , тоді й . Отже, для таких х, і, виходить, на цьому проміжку нерівність (11) також не має рішень.

Отже, нерівність (11) рішень не має.

Відповідь: O.

3 ДЕЯКІ ШТУЧНІ СПОСОБИ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ

Існують і інші нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей, крім використання властивостей функції. Дана глава присвячена додатковим методам рішення.

3.1 Множення рівняння на функцію

Іноді рішення алгебраїчного рівняння істотно полегшується, якщо помножити обидві його частини на деяку функцію - багаточлен від невідомої. При цьому треба пам'ятати, що можливо появу зайвих корінь - корінь багаточлена, на який множили рівняння. Тому треба або множити на багаточлен, що не має корінь, і одержувати рівносильне рівняння, або множити на багаточлен, що має корінь, і тоді кожний з таких корінь треба обов'язково підставити у вихідне рівняння й установити, чи є це число його коренем.

Приклад 3.1.1 Вирішите рівняння

. (1)

Рішення. Помноживши обидві частини рівняння на багаточлен , що не має корінь, одержимо рівняння

, (2)

рівносильне рівнянню (1). Рівняння (2) можна записати у вигляді

. (3)

Ясно, що рівняння (3) не має дійсних корінь, тому й рівняння (1) їх не має.

Відповідь: O.

Приклад 3.1.2 [19] Вирішите рівняння

. (4)

Рішення. Помноживши обидві частини цього рівняння на багаточлен , одержимо рівняння

, (5)

Є наслідком рівняння (4), тому що рівняння (5) має корінь , що не є коренем рівняння (4).

Рівняння (5) є симетричне рівняння четвертого ступеня. Оскільки не є коренем рівняння (5), те, розділивши обидві його частини на й перегрупувавши його члени, одержимо рівняння

(6)

рівносильне рівнянню (5). Позначивши , перепишемо рівняння (6) у вигляді

. (7)

Рівняння (7) має два корені: і . Тому рівняння (6) рівносильне сукупності рівнянь

и.

Вирішивши кожне із цих рівнянь, знайдемо чотири корені рівняння (6), а тим самим і рівняння (5):

, , ,

Тому що корінь є стороннім для рівняння (4), те звідси одержуємо, що рівняння (4) має три корені: x₁, x₂, x₃.

Відповідь:

3.2 Угадування кореня рівняння

Іноді зовнішній вигляд рівняння підказує, яке число є коренем рівняння.

Приклад 3.2.1 Вирішите рівняння

. (8)

Рішення. Перепишемо рівняння (8) у вигляді:

. (9)

Із зовнішнього вигляду цього рівняння очевидно, що х = 12 є його корінь. Для знаходження інших корінь перетворимо багаточлен

Тому що багаточлен не має корінь, те вихідне рівняння має єдиний корінь х = 12.

Відповідь: {12}.

Приклад 3.2.2. Вирішите рівняння

(10)

Рішення. Легко помітити, що і є рішеннями цього рівняння. Після розкриття дужок це рівняння перепишеться як квадратне. А це означає, що воно може мати не більше двох корінь. Тому що два корені цього рівняння знайдені, те тим самим воно й вирішено.

Відповідь:

3.3 Використання симетричності рівняння

Іноді зовнішній вигляд рівняння - деяка його симетричність - підказує спосіб рішення рівняння.

Приклад 3.3.1 Вирішите рівняння

. (11)

Рішення. Очевидно, що зовнішній вигляд рівняння підказує, що одне з корінь рівняння (11) є . Однак знайти інших корінь цього рівняння тут не так просто. Перепишемо рівняння (11) у трохи іншому виді.

Оскільки справедливі тотожні рівності

,

те рівняння (11) можна переписати так:

. (12)

Тепер очевидно, що якщо ― корінь рівняння (12), те також корінь рівняння (12), оскільки

. (13)

Покажемо, що якщо , є корінь рівняння (11), те також є корінь цього рівняння.

Дійсно, тому що

те звідси й випливає це твердження.

Отже, якщо , ― корінь рівняння (11), те воно має ще коріння

, , , ,

т. е. рівняння (11) має корінь

, , , , , .

Оскільки рівняння (11) є алгебраїчне рівняння шостого ступеня, то воно має не більше шести корінь. Таким чином, ми знайшли всі коріння рівняння (11).

Відповідь:

3.4 Дослідження рівняння на проміжках дійсної осі

Іноді рішення рівняння можна знайти, досліджуючи його на різних числових проміжках.

Приклад 3.4.1 Вирішите рівняння

. (14)

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді або, використовуючи формулу різниці

, (15)

у вигляді

. (16)

Звідси видно, що одне з корінь даного рівняння є . Доведемо, що рівняння

(17)

рішень не має.

Розіб'ємо числову вісь на проміжки

Для будь-якого x із проміжку маємо, що ліва частина рівняння (17) позитивна, тому на цьому проміжку рівняння рішень не має.

Оскільки

,

те для будь-якого х із проміжку цей багаточлен позитивний. Це означає, що на проміжку рівняння (17) також не має рішень.

Оскільки

,

те для будь-якого x із проміжку цей багаточлен позитивний. Отже, і на проміжку рівняння (17) не має рішень.

Отже, дане рівняння (17) має єдине рішення .

Відповідь: {1}.

ВИСНОВОК

У процесі дослідження ціль дипломної роботи досягнута, повністю вирішені поставлені задачі й отримані наступні результати й висновки:

Наведено відомості про давнину постановки перед людиною задачі рішення рівнянь і нерівностей.

Наведено й розглянуті на прикладі методи рішення рівнянь і нерівностей, засновані на використанні властивостей функції.

Розглянуто й випробувані додаткові нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей.

Продовження дослідження може полягати у вивченні застосування властивостей синуса й косинуса, застосуванні похідній, використанні числових нерівностей, використанні графіків і інших нестандартних способів рішення рівнянь і нерівностей.

ДОДАТОК

З адачі для самостійного рішення:

Доведіть, що наступне рівняння не має рішень:

.

.

.

.

Вирішите рівняння:

Відповідь: {0}.

.

Відповідь: {2}.

.

Відповідь: {-1}.

.

Відповідь: {2}.

.

Відповідь: {1}.

.

Відповідь: {1; -2}.

Відповідь: .

.

Відповідь:

Вирішите нерівність:

.

Відповідь: .

.

Відповідь: .

.

Відповідь: .

.

Відповідь: .

.

Відповідь:

СПИСОК ДЖЕРЕЛ

1. Абилкасимова А. Є. Алгебра 10 клас. – К., 2003

2. Алилов М. А., Колягин Ю. М. і ін. Алгебра й начало аналізу. – К., 2004

3. Болтянський В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. І. Лекції й задачі по елементарній математиці. – К., 2006

4. Газета «Математика» №20, 2008 р.

5. Голубєв В. і. Рішення складних і нестандартних задач по математиці. – К., 1995

6. Горштейн П. І. Задачі з параметрами., - К., 1999.

7. Гусєв В. А., Мордович О. Г. Математика. Довідкові матеріали. – К., 2001

8. Далингер В. А. Нестандартні рівняння й методи їхнього рішення. –К., 2005

9. Жафяров А. Ж. Профільне навчання старшокласників. К., 2001

10. Журнал «Математика в школі», 1999-2007 р.

11. Івлєв Б. М., Абрамов А. М., Дудницин Ю. П., Швардцбурд С. І. Задачі підвищених труднощів по алгебрі й початкам аналізу. – К., 2005.

12. Ковальова Г. И., Конкина Е. В. Функціональний метод рішення рівнянь і нерівностей. – К., 2006

13. Кравцов С. В. Методи рішення задач по алгебрі. – К., 2001

14. Кулагін Є. Д. 300 конкурсних задач по математиці. - К., 2003

15. Кушнір А. І. Математична енциклопедія. - К.,1995 р.

16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по елементарній математиці. Алгебра. Тригонометрія. – К., 1991 р.

Характеристики

Список файлов ВКР