86388 (589974), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Не всяке рівняння f(x) = g(x) або нерівність у результаті перетворень або за допомогою вдалої заміни змінної може бути зведене до рівняння або нерівності того або іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм рішення. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати деякі властивості функцій, такі як монотонність, періодичність, обмеженість, парність і ін.

2.1 Використання монотонності функції

Функція f (x) називається зростаючої на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x₁ і x₂ із проміжку D таких, що x₁ < x₂, виконується нерівність f (x₁) < f (x₂).

Функція f (x) називається убутної на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x₁ і x₂ із проміжку D таких, що x₁ < x₂, виконується нерівність f (x₁) > f (x₂).

На показаному на малюнку 1 графіку

Малюнок 1

Функція y = f (x), , зростає на кожному із проміжків [a; x₁) і (x₂; b] і убуває на проміжку (x₁; x₂). Зверніть увагу, що функція зростає на кожному із проміжків [a; x₁) і (x₂; b], але не на об'єднанні проміжків

Якщо функція зростає або убуває на деякому проміжку, то вона називається монотонної на цьому проміжку.

Помітимо, що якщо f – монотонна функція на проміжку D (f (x)), те рівняння f (x) = const не може мати більше одного кореня на цьому проміжку.

Дійсно, якщо x₁ < x₂ – корінь цього рівняння на проміжку D (f(x)), те f (x₁) = f (x₂) = 0, що суперечить умові монотонності.

Перелічимо властивості монотонних функцій (передбачається, що всі функції визначені на деякому проміжку D).

Сума декількох зростаючих функцій є зростаючою функцією.

Добуток ненегативних зростаючих функцій є зростаюча функція.

Якщо функція f зростає, то функції cf (c > 0) і f + c також зростають, а функція cf (c < 0) убуває. Тут c - деяка константа.

Якщо функція f зростає й зберігає знак, то функція убуває.

Якщо функція f зростає й ненегативна, то fⁿ де n N, також зростає.

Якщо функція f зростає й n – непарне число, то f ⁿ також зростає.

Композиція g (f (x)) зростаючих функцій f і g також зростає.

Аналогічні твердження можна сформулювати й для убутної функції.

Крапка a називається крапкою максимуму функції f, якщо існує така ε-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f (a) ≥ f (x).

Крапка a називається крапкою мінімуму функції f, якщо існує така ε-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f (a) ≤ f (x).

Крапки, у яких досягається максимум або мінімум функції, називаються крапками екстремуму.

У крапці екстремуму відбувається зміна характеру монотонності функції. Так, ліворуч від крапки екстремуму функція може зростати, а праворуч - убувати. Відповідно до визначення, крапка екстремуму повинна бути внутрішньою крапкою області визначення.

Якщо для кожного (x ≠ a) виконується нерівність f (x) ≤ f (a) , те крапка a називається крапкою найбільшого значення функції на множині D:

Якщо для кожного (x ≠ b) виконується нерівність f (x) > f (b) , те крапка b називається крапкою найменшого значення функції на множині D.

Крапка найбільшого або найменшого значення функції на множині D може бути екстремумом функції, але не обов'язково їм є.

Крапку найбільшого (найменшого) значення безперервної на відрізку функції варто шукати серед екстремумів цієї функції і її значень на кінцях відрізка.

Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивості монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.

1. Нехай f(х) - безперервна й строго монотонна функція на проміжку Т , тоді рівняння f(x) = З, де З - дана константа, може мати не більше одного рішення на проміжку Т.

2. Нехай f(x) і g(х) - безперервні на проміжку T функції, f(x) строго зростає, а g(х) строго убуває на цьому проміжку, тоді рівняння f(х) = =g(х) може мати не більше одного рішення на проміжку Т. Відзначимо, що як проміжок T можуть бути нескінченний проміжок (-?;+?) , проміжки (а;+?), (-?; а), [а;+?), (-?; b], відрізки, інтервали й напівінтервали.

Приклад 2.1.1 Вирішите рівняння

. [28] (1)

Рішення. Очевидно, що х ≤ 0 не може бути рішенням даного рівняння, тому що тоді . Для х > 0 функція безперервна й строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f(x) = х і . Виходить, в області х > 0 функція приймає кожне своє значення рівно в одній крапці. Легко бачити, що х = 1 є рішенням даного рівняння, отже, це його єдине рішення.

Відповідь: {1}.

Приклад 2.1.2 Вирішите нерівність

. (2)

Рішення. Кожна з функцій в = 2^x, в = 3^x, в = 4^х безперервна й строго зростаюча на всій осі. Виходить, такий же є й вихідна функція . Легко бачити, що при х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності й строгої монотонності цієї функції при х > 0 маємо , при х < 0 маємо . Отже, рішеннями даної нерівності є всі х < 0.

Відповідь: (-?; 0).

Приклад 2.1.3 Вирішите рівняння

. (3)

Рішення. Область припустимих значень рівняння (3) є проміжок . На ОПЗ функції й безперервні й строго убувають, отже, безперервна й убуває функція . Тому кожне своє значення функція h(x) приймає тільки в одній крапці. Тому що , те х = 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.

Відповідь: {2}.

2.2 Використання обмеженості функції

При рішенні рівнянь і нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто відіграє визначальну роль.

Якщо існує число C таке, що для кожного виконується нерівність f (x) ≤ C, те функція f називається обмеженої зверху на множині D (малюнок 2).

Малюнок 2

Якщо існує число c таке, що для кожного виконується нерівність f (x) ≥ c, те функція f називається обмеженої знизу на множині D (малюнок 3).

Малюнок 3

Функція, обмежена й зверху, і знизу, називається обмеженої на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y = f (x), лежить у смузі c ≤ y ≤ C (малюнок 4).

Малюнок 4

Якщо функція не є обмеженою на множині, то говорять, що вона не обмежена.

Прикладом функції, обмеженої знизу на всій числовій осі, є функція y = x². Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (–∞; 0) є функція y = 1/x. Прикладом функції, обмеженої на всій числовій осі, є функція y = sin x.

Приклад 2.2.1 Вирішите рівняння

sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2. (4)

Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x³ + 2х² + 1) ≤ 1, х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевершує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення тільки при .

При , , тобто при рівняння (4) так само корінь не має .

Відповідь: O.

Приклад 2.2.2 Вирішите рівняння

. (5)

Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями даного рівняння. Для знаходження інших рішень у силу непарності функції f(х) = = x³ - x - sin πx досить знайти його рішення в області х > 0, х ≠ 1, оскільки якщо x₀ > 0 є його рішенням, те й (-x₀) також є його рішенням.

Розіб'ємо множину х > 0, х ? 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +?)

Перепишемо початкове рівняння у вигляді x³ - x = sin πx. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x³ - x приймає тільки негативні значення, оскільки х³ < < х, а функція h(x) = sin πx тільки позитивні. Отже, на цьому проміжку рівняння не має рішень.

Нехай х належить проміжку (1; +∞). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х³ - х приймає позитивні значення, функція h(x) = sin πx приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2] функція h(x) = sin ?x непозитивна. Отже, на проміжку (1; 2] рівняння рішень не має.

Якщо ж х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x³ - x = x(x² - 1) > 2∙ 3 = 6, а це означає, що й на проміжку (1; +∞) рівняння також не має рішень.

Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і тільки вони є рішеннями вихідного рівняння.

Відповідь: {-1; 0; 1}.

Приклад 2.2.3 Вирішите нерівність

. (6)

Рішення. ОПЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розіб'ємо ОПЗ нерівності на три множини: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? і розглянемо нерівність на кожному із цих проміжків.

Нехай -∞ < x < -1. Для кожного із цих x маємо g(x) = < 0, а f(x) = 2^x > 0. Отже, всі ці x є рішеннями нерівності.

Нехай -1 < x ≤ 0. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , а f(x) = 2^x ≤ 1. Отже, жодне із цих x не є рішенням даної нерівності.

Нехай 0 < x < +∞. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , a . Отже, всі ці x є рішеннями вихідної нерівності.

Відповідь: .

2.3 Використання періодичності функції

Функція f (x) називається періодичної з періодом T ≠ 0, якщо виконуються дві умови:

якщо , то x + T і x – T також належать області визначення D (f (x));

для кожного виконана рівність

f (x + T) = f (x).

Оскільки те з наведеного визначення треба, що

Якщо T – період функції f (x), то очевидно, що кожне число nT, де , n ≠ 0, також є періодом цієї функції.

Найменшим позитивним періодом функції називається найменше з позитивних чисел T, що є періодом даної функції.

Графік періодичної функції

Графік періодичної функції звичайно будують на проміжку [x₀; x₀ + T), а потім повторюють на всю область визначення.

Гарним прикладом періодичних функцій можуть служити тригонометричні функції y = sin x, y = cos x (період цих функцій дорівнює 2π), y = tg x (період дорівнює π) і інші. Функція y = const також є періодичною. Для неї періодом є будь-яке число T ≠ 0.

На закінчення відзначимо властивості періодичних функцій. [19]

Якщо f (x) – періодична функція з періодом T, то функція

g (x) = A · f (kx + b)

де k ≠ 0 також є періодичною з періодом .

Нехай функції f₁ (x) і f₂ (x) визначені на всій числовій осі і є періодичними з періодами T₁ > 0 і T₂ > 0. Тоді якщо те функція періодична з періодом T, рівним найменшому загальному кратному чисел T₁ і T_2.

Приклад 2.4.1 Функція періодична з періодом T = 5. Відомо, що . Знайдіть

Рішення. Перетворимо окремо кожний доданок:

Тоді

Відповідь: 2.

Приклад 2.4.2 [24] Знайдіть період функції

Рішення. Перетворимо дане вираження:

має період ;

має період .

Тоді функція має період

Відповідь: ?.

Приклад 2.4.3 Нехай - періодична функція з періодом 3 така, що

; .

Вирішите рівняння:

(7)

Графік функції на множині [0;3) зображений на малюнку 3:

x

y

Малюнок 5

Таким чином 3 - період функції , те , тоді рівняння (7) прикмет вид , розглянемо два випадки.

1) нехай , тобто , тоді рівняння прийме вид:

, значить і виходить ,

2) нехай те , тоді рівняння прийме вид:

; отже ,

таким чином , .

Відповідь: .

2.4 Використання парності функції

Функція f (x) називається парної, якщо для кожного виконуються рівності:

1) ,

2) f (–x) = f (x).

Графік парної функції на всій області визначення симетричний щодо осі OY. Прикладами парних функцій можуть служити y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|

Графік парної функції

Функція f (x) називається непарної, якщо для кожного виконуються рівності:

1) ,

2) f (–x) = –f (x).

Іншими словами функція називається непарної, якщо її графік на всій області визначення симетричні відносно початку координат. Прикладами непарних функцій є y = sin x, y = x³.

Графік непарної функції

Не слід думати, що будь-яка функція є або парної, або непарної. Так, функція не є ні парної, ні непарної, тому що її область визначення несиметрична відносно початку координат. Область визначення функції y = x³ + 1 охоплює всю числову вісь і тому симетрично відносно початку координат, однак f (–1) ≠ f (1). А це значить, що функція не є ні парної, ні непарної, тобто є функцією загального виду (ФЗВ).

Якщо область визначення функції симетрична відносно початки координат, то цю функцію можна представити у вигляді суми парної й непарної функцій.

Такою сумою є функція

Перший доданок є парною функцією, друге - непарної.

Порівняльна ілюстрація функцій різної парності зображена на малюнку 6

ФОВ

Малюнок 6

Дослідження функцій на парність полегшується наступними твердженнями.

Сума парних (непарних) функцій є парною (непарної) функцією.

Добуток двох парних або двох непарних функцій є парною функцією.

Добуток парної й непарної функції є непарною функцією.

Характеристики

Список файлов ВКР