86229 (589952), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Розглянемо ще приклад. Кут — це фігура, яка складається з двох різного проміння з обший початковою крапкою. Родовим найближчим об'єктом буде фігура; видові відмінності: два промені і загальний початок біля цього проміння.

Операції, що розкривають дію визначення об'єктів, будуть наступні: вибирається найближчий родовий об'єкт (фігура), потім на цей об'єкт накладаються як би обмеження, видові характеристики (відмінності). На основі видових характеристик більше властивостей. Ось цьому об'єкту з великим числом . властивостей і меншим об'ємом привласнюється нова назва (термін). Так, зі всієї рівності рівнянням назвемо тільки таку рівність, в записі якої є змінні (букви). Зі всіх рівнянь квадратними назвемо такі, які мають вигляд ах²+bx+с = 0, де х — змінна; а, b і с — деякі числа, причому а≠0. Зі всіх прямокутників квадратом назвемо такі прямокутники, біля яких суміжні сторони рівні, і т.п.

При виділенні видів визначень математичних об'єктів часто ось ця загальна дія — визначення об'єктів — називають конкретним видом «визначення через найближчий рід і видові відмінності». Нам представляється більш правомірним вести мову про специфіку дій по виділенню видових відмінностей і залежно від цього розрізняють означення і називати їх визначеннями об'єктів конкретного вигляду.

Відповідно до цього можна назвати наступні види визначень математичних об'єктів залежно від специфіки дій, за допомогою яких виділяють родові об'єкти і видові відмінності. Інакше можна ще сказати, що визначення через найближчий рід і видові відмінності мають наступну конкретизацію:

1) визначення об'єктів шляхом вказівки їх характеристичної властивості;

2) негативні визначення. І окремо слід назвати неявні визначення основних (початкових) об'єктів (фігур) предмету через систему аксіом;

3) конструктивні і рекурсивні визначення.

Визначення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості. Цей вид визначень побудований на логічних діях і операціях встановлення найближчого роду, видових відмінностей і логічної природи зв'язку між родом і видовими відмінностями. Залежно від логічної природи зв'язку властивостей в шкільному курсі математики розрізняють коньюнктивні і диз'юнктивні визначення.

Розглянемо, наприклад, визначення паралелограма.

Паралелограмом називається чотирикутник, біля якого протилежні сторони паралелі.

Термін — паралелограм.

Рід — чотирикутник.

Видові відмінності: 1) одна пара протилежних сторін паралель;

2) інша пара протилежних сторін паралель.

Всі властивості у визначенні сполучені союзом «и»; значить, маємо конъюнктивне визначення.

Інший приклад — визначення неправильного дробу.

Дріб, в якому чисельник більше знаменника або рівний йому, називається неправильним дробом.

Термін — неправильний дріб.

Рід — дріб.

Видові відмінності: 1) чисельник більше знаменника; 2) чисельник рівний знаменнику.

Видові відмінності сполучені союзом «або». Визначення диз'юнктивне.

Конструктивні і рекурсивні визначення. Властивості об'єкту в такому визначенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто його видові відмінності задані у вигляді дій.

Приклад 1. Поворотом біля даної крапки називається такий рух, при якому кожний промінь, витікаючий з цієї крапки, повертається на один і той же кут в одному напрямку.

Термін — поворот.

Рід — рух.

Видові відмінності: 1) кожний промінь, витікаючий з крапки, повернути в одному і тому ж напрямі; 2) кожний промінь повернути на один і той же кут.

Конструктивні дії можуть задаватися різно.

Так, в рекурсивних визначеннях указуються деякі базисні об'єкти деякого класу і правила, що дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.

Дії отримання подальшого члена, якщо відомий попередній, вказані у видових відмінностях.

Негативні визначення. Негативні визначення не задають властивості об'єкту. Вони виконують як би класифікаційну функцію. Якщо клас об'єктів розбитий на групи (множини) і об'єктам однієї групи, що володіють певними властивостями, привласнений термін і є об'єкти, які належать цьому класу, але на наголошених властивостях (всіма або частиною) не володіють, те такий об'єктам дається негативне означення.

Приклад. Прямі, що схрещуються, — це такі прямі, які не належать площині і не перетинаються.

Термін — прямі, що схрещуються.

Рід — прямі.

Видові відмінності: 1) не належать одній площині; 2) не перетинаються.

Таким чином, логічна дія — визначення об'єкту — скрізь однаково, не змістовні (математичні) дії в кожному з на наголошених видах визначень різні. В одних видові відмінності перераховуються як описові характеристики (бути паралельними, бути більше і т. п.); в інших указуються дії, які треба провести, щоб одержати (сконструювати) об’єкт; в третіх перераховуються властивості, які заперечуються.

Таким чином, головне в типології шкільних визначень по видах — це розуміння специфіки дій, що розкривають (характеризуючи) видові відмінності.

Основною учбовою задачею при навчанні визначенням математичних об'єктів буде формування логічної дії по розкриттю структури визначення математичних об'єктів і дій, адекватних конкретному виду визначень.

Дії, за допомогою яких розв'язуватиметься основна учбова задача, наступні:

• логічний аналіз структури визначень різного вигляду (виділення логічної і змістовної функцій кожного слова у визначенні об'єкту, відшукання зайвих слів у визначеннях і ін.);

• підведення конкретного математичного об'єкту під визначення;

• приведення конкретного прикладу, об'єкту, що ілюструє приналежність його даному визначенню;

• заміна визначення об'єкту еквівалентним визначенням цього об'єкту. Іноді цю дію називають переформулювання визначення. Порівняння різних визначень одного і того ж об'єкту;

• отримання слідств з факту, що об'єкт належить до класу об'єктів, охарактеризованих визначенням;

• знаходження логічних і змістовних помилок в приведених визначеннях.

При з'єднанні видових відмінностей коньюктивно для приналежності конкретного об'єкту до класу певних об'єктів необхідне дотримання (наявність біля прикладу) всіх властивостей одночасно.

Для приналежності конкретного об'єкту до класу, заданого у визначенні, коли видові відмінності сполучені диз'юнктивний, необхідне дотримання (наявність) родової властивості і хоча б однієї з видових відмінностей.

2.2. Виконання дії підведення під поняття.

Умін­ня застосовувати поняття є показником його засвоєння. На думку Н.О.Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє його і застосовувати.

Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Проте існують два роди знань: знання про пред­мети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття) і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду.

Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування за­дач, зокрема прикладних. Тому дії, адекватні знанням, зокрема по­няттям, мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.

З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумо­ві дії, як «підведення до поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія — відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об'єктів до по­няття. Для встановлення факту належності об'єкта до певного поняття потрібно перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достат­ніх властивостей. Якщо виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї з іс­тотних властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не на­лежить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, мо­жуть бути покладені в основу означень.

Наприклад, для встановленні належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися озна­ченням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони є еквіва­лентними системами необхідних і достатніх властивостей.

Перелік операцій, що входять до складу дії підведення до поняття у випадку, коли істотні властивості пов'язані сполучником «і» чи сполучником «або», можна задати у вигляді такого навчального алго­ритму. Щоб визначити, чи належить х до поняття у, потрібно:

1) виокремити властивості у;

2) з'ясувати, якими сполучниками пов'язані ці властивості;

3) якщо: а) сполучником «і», то перевірити, чи має х всі властивості у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у; б) сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну властивість у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у.

Якщо означення поняття має змішану структуру, тобто містить сполуч­ник «і» та сполучник «або», то в алгоритмі потрібні додаткові вказівки.

Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення озна­чення чітко виділити дві істотні властивості, які воно містить і які лише разом утворююгь необхідну і достатню властивість належності об'єкта до поняття «медіана»: 1) медіана — це відрізок; 2) цей відрізок з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Щоб встановити, чи є АВ медіаною трикутника АВС, потрібно: 1) пригадати означення медіани; 2) переконатися, що істотні власти­вості в ньому пов'язані сполучником «і»; 3) перевірити, чи має АО обидві властивості медіани.

2.3. Виконання дії виведення наслідків

Перелік операцій, що є складовими дії «відшукання наслідків», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1) назвати всі істотні властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші істотні властивості, які вивчалися.

Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття «рівнобедрений трикутник» можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений, то: 1) дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при вершині є висотою, проведеною до основи; 5) пряма, що містить згадану бісектрису кута при вершині, є віссю симетрії цього трикутника.

З метою забезпечення передумов для формування умінь застосовувати поняття та їхні властивості до розв'язування задач і доведення теорем, доцільно після вивчення кожного з основних понять і відношень звести разом їхні істотні властивості, що містяться в означеннях і теоремах.

До таких понять слід віднести насамперед основні геометричні фі­гури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпен­дикулярності, основні види рівнянь, нерівностей, функцій. У міру вивчення курсу виникають нові можливості щодо доведення відно­шень рівності, паралельності й перпендикулярності відрізків, подіб­ності фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири для до­ведення цих відношень.

Наприклад, щоб довести рівність двох відріз­ків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикут­ників або скористатися властивістю одного з рухів, або застосувати вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедреного трикутника чи протилежними сторонами паралелограма (прямо­кутника, квадрата, ромба).

Основою застосування понять до розв'язування складніших задач і доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву «ана­ліз через синтез», або переосмислення елементів задачі з погляду різних понять. У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розу­мова дія, як конкретизація, оскільки використання знань у практичних ситуаціях пов'язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослі­дження педагогічної психології показують, що перехід від оперування абс­трактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний для школярів.

З цього приводу Л. С. Виготський писав, що шлях від абс­трактного до конкретного виявляється тут не менш важким, ніж шлях сходження від конкретного до абстрактного. Багатьом учням складно одночасно виокремлювати абстрактні спів­відношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприй­мання об'єктів. Для запобігання таким труднощам потрібно викорис­товувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абст­рактних понять — розв'язувати задачі практичного змісту. Особливо корисними є практичні роботи на місцевості, екскурсії на сільського­сподарські та промислові підприємства.

2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання

Відомі конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктив­ний підходи до формування понять та їх означень. При першому з них учні спочатку спостерігають і аналізують кон­кретні об'єкти (числа, фігури, задачі та ін.), потім відокрем­люють і перераховують їх істотні ознаки і, нарешті, синтезують поняття та формулюють його означення. Так, при формуванні понять «прості» і «складені» числа можна запро­понувати учням розглянути такі множини чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,

У чні визначають дільники чисел спочатку в першій мно­жині, а потім у другій; виявляють спільні і відмінні влас­тивості чисел обох рядів і означають поняття «просте число» і «складене число». При цьому слід звернути увагу на ті істотні ознаки, які узагальнюються і синтезуються в по­нятті.

Ці методи набули неабиякого поширення у навчанні математики. Вперше їх докладно проаналізував К.Ф.Лебединцев.

Характеристики

Список файлов ВКР