86229 (589952), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В. И. Григорьев і Р. Я. Мякишев в своїй книзі «Сили в природі» про такого роду визначення образно пишуть: «Змія укусила себе за хвіст».

Круг у визначенні у відповідях вчаться зустрічається рідше, але ця помилка спостерігається в учбовій і методичній літературі. І часом вона ніким не помічається. Суть помилки полягає в тому, що одне поняття визначається через інше, а це інше — через перше. Наприклад: «Що таке обертання?» — «Рух навкруги осі».— «А що таке вісь?» — «Те, навкруги чого відбувається обертання».

Приклад круга у визначенні — визначення роботи і енергії. Енергія в багатьох вузівських курсах і шкільних підручниках визначається як здатність тіл або системи тіл скоювати роботу. А робота, у свою чергу, визначається як міра зміни енергії або процес перетворення одного виду енергії в іншій.

Визначення невідомого через невідоме. Суть цієї помилки полягає в тому, що поняття визначається через таке поняття, ознаки якого невідомі і яке саме ще повинне бути визначене.

Включення у визначення неістотної ознаки також зустрічається досить часто. Так, наприклад, визначаючи поняття «пружинний динамометр», багато учнів 6 класу пишуть: «Це прилад, що складається з пружини з гачком». Тут вказана неістотна ознака — гачок. І невірно вказаний рід — «прилад». Потрібно брати найближчий рід — «динамометр». Інший приклад подібної помилки у визначенні: «Речовиною називаються форми матерії, що володіють енергією». Ознака «володіють енергією» для речовини не суттєво, оскільки енергія властива не тільки речовині, але і полю.

Знання типових помилок у визначенні понять дає можливість вчителю більш строго відноситися до визначень, які дає він сам що вчиться на уроці, і до визначень, які дають учнів в своїх відповідях.

Визначаючи те або інше поняття, вчителю треба мати у вигляді наступне:

1. Визначення поняття не ставить задачу охопити предмет вичерпним чином. Воно відображає лише самі загальні і відмітні властивості визначуваного класу предметів або явищ. Корисно нагадати слова Ф. Энгельса про те, що від визначення не слід вимагати більше того, що воно може дати. Кожний предмет має велике число властивостей і зв'язків з іншими предметами матеріального миру. Для того, щоб відмежувати предмет від інших предметів, достатньо виділити лише найістотніші властивості (вказати рід і видову відмінність).

2. Задача визначення — в короткій формі зафіксувати здобуті знання про предмет або явище.

3. Визначення поняття не є раз і назавжди дане, незмінне. У міру розвитку науки заглиблюються наші знання про природу і відповідно до цього уточнюється зміст понять, а разом з цим і їх визначення. На цьому питанні ми ще зупинятимемося докладніше у зв'язку з розглядом питання про розвиток понять в науці.

4. Слід завжди мати у вигляді, що формально-логічна операція визначення поняття може бути застосована лише тоді, коли з'ясовано, що слід вважати істотним, єством. Питання ж про єство розробляє змістовна діалектична логіка.

Визначення понять з переходом учнів з класу в клас уточнюються. Це питання також розглядатиметься більш детально у зв'язку з аналізом процесу формування понять у школярів. Разом з тим вже зараз хотілося б попередити про доцільність прагнення неодмінно давати визначення поняття на самому початку його формування у школярів. У зв'язку з цим корисно привести вислів російського педагога Ц. І. Балмлона, який в книзі «Виховне читання», виданої в 1908 р., абсолютно правильно попереджав, що розвиток відвернутого понятійного мислення в дитячому віці вимагає від вчителя найбільшого терпіння і обережності; воно досягається поволі, поступово, у зв'язку з органічним зростанням дітей і накопиченням у них реального досвіду.

Відвернуті поняття повинні складатися і зростати як результат поступового розширення кругозору.

Російський педагог В. И. Шереметовский розглядав як злочин проти першої заповіді дидактики, що наказувала помірність і акуратність, прагнення вичерпувати все відразу до дна. Насправді ж всяке теоретичне положення, всякий висновок і узагальнення на перший раз відкладається, так би мовити, на поверхні свідомості, і лише при подальшому неодноразовому вживанні теорії до практики, при підкріпленні одного теоретичного положення іншим, поступово первинне поверхневе уявлення проникає в глибінь свідомості і утворюється, нарешті, той «розумовий осад», який вже можна вважати, а ясне поняття, за точне грунтовне знання.

Але з цього правильного положення про те, що для ряду понять не можна дати відразу закінченого визначення, що поняття повинні розвиватися поступово і згідно з цим на різних татах навчання повинне вводитися різне формулювання визначення, що поступово розкриває все більш і більш глибокий зміст даного поняття, зовсім не витікає, що взагалі можна не давати в процесі навчання (в підручниках) закінчених формулювань визначень ряду основних понять.

1.8. Способи означення понять.

Логіка указує прийоми визначення понять, що дозволяють розкрити істотні ознаки, не вдаючись до докладного переліку всіх істотних ознак. Є декілька способів визначення понять. Основними з них є: визначення через найближчий рід і видову відмінність, генетичне визначення — визначення через вказівку способу утворення предмету.

Виділяють також номінальне визначення — пояснення значення слова, імені або терміну, що позначає дане поняття. Є різні способи означування понять. Основний з них — через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад, «Медіана є відрізок, що з'єднує вер­шину трикутника з серединою протилежної сторони». Тут вказано родове поняття (відрізок) і видова відмінність (з'єднує вершину з серединою протилежної сторони).Означення через абстракцію — це означення, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. Наприклад: «число (кардинальне) класу а є клас всіх класів, що перебувають у відношенні взаємно однозначної відповідності з класом а».

Аксіоматичне означення — це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики. Так, система аксіом геометрії Гільберта непрямо означає поняття «точка», «пряма», «площина», «належність», «між», «конгруентність». Наприклад, аксіо­ми інцидентності (належності): 1) двом точкам належить тільки одна пряма; 2) якщо дві точки прямої належать пло­щині, то й ця пряма інцидентна даній площині, опосередко­вано розкривають зміст понять «пряма», «площина», «інци­дентиність».

Оскільки зміст кожного поняття розкривається через означені вже поняття, то в процесі такого поступового зве­дення (редукції) приходять до ряду не означуваних понять. Це є первісні, основні поняття, такі як: «множина», «відпо­відність», «натуральне число», «точка», «пряма», «площина», «конгруентність» тощо.

При означуванні понять треба запобігати створен­ню сурогатів-означень, в яких за означення беруться пе­релік тих моментів з практики, які привели до утворення даного поняття. Наприклад: «Число є результат рахунку або вимірювання»; «відношення є результат порівнюван­ня» і т. д. Тут за означення поняття взято деякий його опис. Означення, по можливості, не повинно подаватися в не­гативній формі. Наприклад, означення: «трапеція не є пара­лелограм», або «ірраціональне число — це не ціле число» є неправильними.

Перший основний спосіб означення починається з вказівки роду, в який як вигляд входить визначуване поняття. При цьому береться не перший рід, що попався, а найближчий, в який даний вигляд входить. Родове поняття — це і є більш широке поняття, під яке, «підводиться» визначуване видове поняття.

Знаходження більш широкого поняття є тільки початком визначення поняття. Другий етап — вказівка видової відмінності визначуваного поняття. В кожний рід входить багато видів. Для того, щоб точно визначити поняття, треба знайти зміст даного вигляду, знайти ту специфічну істотну ознаку, по якій даний вигляд відрізняється від всієї решти видів, що входять у вказаний рід.

Вперше наукове формулювання прийому визначення поняття через найближчий рід і видову відмінність дав Арістотель. Він сформулював також правила визначення, прийняті сучасною традиційною логікою. Д. Маркс, Ф.Энгельс в своїх працях широко користувалися цим прийомом визначення поняття. Серед помилок більш типовими при означуванні є: не називання окремих істотних ознак поняття. Наприклад: «Кут, утворений двома хордами, називається вписаним» (не сказа­но, що його вершина лежить на колі); «Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правиль­ною» (не зазначено, що її вершина ортогонально проектується в центр основи) і т. д. Причиною таких неточних формулю­вань є недостатнє розуміння кожної з істотних ознак озна­чуваного поняття. Тому при введенні поняття слід виділяти всі їх істотні ознаки, перелічити ці ознаки, зіставити озна­чуване поняття із спорідненими, але відмінними поняттями. і називання зайвих (вивідних) ознак поняття, наприклад: «Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполу­чає середини бічних сторін трапеції і паралельний основам трапеції». Такі помилки є менш істотними, ніж попередні. Однак вони свідчать про те, що учні не усвідомлюють потре­би мінімалізації ознак в означенні поняття. Виправляючи їх, треба пояснити учневі, що вивідні ознаки понять є предметом не означень, а теорем; що цим демонструється не «обширність» його знань, а логічна нечіткість. Причиною таких помилок є дещо неосмислене нагромадження учнем ряду споріднених фактів. Щоб запобігти появі таких поми­лок, доцільно в ході викладання та після розгляду певної теми (наприклад, про трапецію) показ учням логічне при­значення кожного із розглянутих математичних тверджень.

Називання суперечних ознак, наприклад, «Паралело­грам — це чотирикутник, у якого протилежні сторони по­парно паралельні, а кути діагоналями поділяються навпіл». У подібних випадках пояснюємо, що не можна об'єднувати в одному твердженні істотні ознаки поняття загального виду із специфічними ознаками підпорядкованого йому поняття.

1.9. Види означень.

Існують різні види означень у математиці. Найпошире­ніший з них — означення через рід і видову відмінність.

Означення через рід і вид. При та­кому означенні ми заздалегідь визначаємо клас, який при­пускається вже точно означеним, і з нього виділяємо під­клас, що має дану видову відмінність. Наприклад, арифме­тичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює поперед­ньому, складеному з одним і тим самим числом. Найближ­чий рід тут — це поняття «послідовність» (припускається, що поняття «послідовність» точно означене), видова відмінність: «кожний член якої, починаючи з другого, дорів­нює попередньому, складеному з одним і тим самим числом».

Означення поняття характеризується двома основними частинами. Перша частина - визначуване поняття. Це то поняття, що визначається, друга частина — визначальна поняття — ті слова в означенні, що характеризують родову і видову ознаки визначуваного поняття. Наприклад, в означенні арифметичного квадратного кореня «невід'єм­не число, квадрат якого дорівнює а» визначуване поняття буде «арифметичний корінь», визначальне поняття — це слова «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а».

Означення через рід і вид здебільшого зустрічаються у геометрії.

Генетичне означення. Генетичне озна­чення — це означення, яке вказує на походження предме­та, яке охоплюється даним поняттям. У такому означенні вказується спосіб, яким даний предмет утворюється. На­приклад, означення: «Куля — тіло, яке утворюється від обертання півкруга навколо діаметра» є генетичним озна­ченням. В цих означеннях використовується рух або по­будова.

У генетичному означенні також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність визначуваного предмета від інших предметів даного роду. Наприклад, в означенні циліндричної поверхні: «Поверхня, яка утворюється рухом прямої, що переміщується пара­лельно самій собі і яка перетинає деяку задану плоску криву (направляючу циліндричної поверхні) поняття «поверхня» є родовою ознакою, а всі інші ознаки, що входять у це означення, є видовими ознаками.

Означення —умовні погодження. До таких означень, наприклад, відносять: 1) означення добутку від'­ємних чисел (—а) * (—b) = ab; 2) означення добутку двох дробових чисел: ; 3) означення степеня з від'­ємним показником: а^-n = ; 4) означення степеня з нульо­вим показником а⁰ = 1; 5) означення = 1 і т. д.

У старих підручниках ці означення фігурували як пра­вила, і тому окремі учні часто плутали їх з теоремами. На­приклад, окремі учні помилково вважали, що висловлення а⁰ = 1 — це теорема, а не означення. Термін «умовні погодження» є невдалим, і це призводить, до того, що окремі учні помилково вважають, що в математиці можна довільно прийняти будь-які погодження. Слід їм пояснити, що доцільність вибору тих чи інших означень диктується потребами узагальнення і зумовлюється пев­ними математичними принципами, перевіреними практикою в широкому розумінні цього слова.

Важливо, щоб учні старших класів навчились самі роз­биратися в доцільності таких означень і вміли пояснювати, чому саме вибрані ті означення, а не інші.

При введенні такого означення, яке ще не використову­валося, не треба запитувати: «Чи вірне це означення?». Досить запитати, чи доцільно вибрано означення?

Означення через абстракцію. До цього виду означення звертаються тоді, коли означення через рід і вид важко здійснити.

Процес утворення поняття в цьому випадку спирається на абстракцію ототожнювання. Зіставляючи і порівнюючи між собою різні предмети, ми виділяємо їх спільні власти­вості, а серед них— специфічні, відмінні властивості для даного кола предметів, утворюючи відповідні множини, кожний елемент яких розглядається під кутом зору цієї відмінної властивості.

Сукупність встановлених при цьому ознак ми об'єднує­мо загальною назвою, не вказуючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового по­няття ще не створене). Таким способом утворюється нове поняття.

Візьмемо, наприклад, поняття «величина». В результаті спостережень і досвіду виявляються такі основні ознаки цього поняття:

1. які б не були а і b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або а = b, або a < b, або b < а;

2. якщо а < b і b < с, то а < с (транзитивність відно­шень «менше», «більше»);

3. для будь-яких двох величин а і b існує однозначно визначена величина с = а + b;

4. а + b = b + а (комутативність додавання);

5. а + (b + с)=(а+b)+с (асоціативність дода­вання);

6. а +b >а(монотонність додавання);

7. якщо а > b, то існує одна і тільки одна величина с, для якої b+с =а (можливість віднімання);

8. якими б не були величини а і натуральне число n, існує така величина В, що nb = а (можливість ділення);

9. якими б не були величини а і b, існує таке натураль­не число п, що а < nb. Ця властивість називається аксіо­мою Архімеда;

10)якщо послідовності величин а₁< а₂< ... < b₂< b₁
такі, що b_n - а_n< с для будь-якої величини с при досить
великому номері п, то існує єдина величина х, яка більша за
всі а_n і менша за всі b_n.

Характеристики

Список файлов ВКР