86229 (589952), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Можна, наприклад, мати поняття про велику кількість операцій, що виконує електронна лічильна машина за се­кунду, але не уявляти собі швидкості її роботи.

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові понят­тя), а на базі вже раніше встановлених понять.

Оволодіння будь-якою наукою немислиме без опану­вання системи понять цієї науки. Це великою мірою сто­сується математики.

Найважливішим завданням викладання математики є формування в учнів правильних математичних понять.

1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення.

Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття й усвідомлення його неістотних властивостей, а також на застосування нового поняття до розв’язування задач. До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).

У разі використання абстрактно – дедуктивного методу навчання для формування нового поняття вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належить до цього поняття, виявляє істотні спільні властивості та зазначає неістотні. Наприклад, запроваджуючи поняття «тотожно рівні вирази» в 7 класі, вчитель має сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад, вирази 3(x + y) і 3x + 3y, ab + 16c і 16c+ ab - тотожно рівні. Вирази 2x + y і 2xy – нетотожно рівні. Істотною спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Неістотними ознаками є кількість змінних, які містить вираз, форма виразів.

Наприклад, вираз 5(b+c) має форму добутку, а тотожно рівний йому вираз 5b+5c має форму двочлена; тотожно рівні вирази ab + 16c і 16c+ ab різняться місцем одночленів, що не є істотним.

Труднощі засвоєння понять учнями, які мають слабку підготовку, пояснюються передусім невмінням виокремлювати істотні властивості об’єктів і абстрагуватись від неістотних. У зв’язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення, інакше кажучи, генералізацію неістотних властивостей (надання їм ролі істотних).Істотними для них стають яскраві властивості, які виявляються саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно.

1.4. Зміст і об'єм поняття. Зв'язок між ними.

Під змістом поняття ми розуміємо сукупність усіх істотних ознак, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття. Вчителю ці характеристики поняття потрібно добре знати, щоб судити, як воно засвоєно, яким воно повинне бути.

Слід зазначити, що одні й ті самі ознаки одного й того самого предмета є в одному випадку істотними, а в іншому — неістотними. Все залежить від конкретного співвідношення зв'язків самого предмета і тих його ознак, які в практич­ному відношенні вважаються істотними.

Об'єм поняття — це сукупність усіх предметів, що охоп­люються ним. Наприклад, до об'єму поняття «дійсні чис­ла» входять множини раціональних і ірраціональних чисел.

З міст і об'єм поняття тісно зв'язані між собою і зале­жать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його об'єм і навпаки — зменшення змісту поняття збільшує його об'єм.

Наприклад, в об'єм поняття паралелограм входять всі види паралелограмів; зміст цього поняття становлять ознаки: «чотирикутник» і «попарна паралельність несуміжних сторін». Коли до цих істотних ознак додати ознаку «конгруентність усіх кутів зазначеної фігури», то об'єм поняття зменшиться, тепер до нього вхо­дить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Відношення об'ємів двох зазначених понять можна графічно подати у вигля­ді кругів Ейлера (мал. 1).

Точки кожного круга зображають об'єкти класу, що належать даному по­няттю. Великий круг зображає поняття «паралелограм», менший— поняття «пря­мокутник».

Розподіл об'єму поняття . Певному родовому поняттю, як правило, відповідають не одне видове поняття, а дещо. Так, поняттю «елементарні частинки» відповідають: електрон, нейтрон, фотон, позитрон, протон і т. д.; поняттю «листяні дерева» — береза, клен, дуб, ясен, осика і т. д.; поняттю «планети» — Земля, марс, Юпітер і т.д.

Розумова операція, в результаті якої розкривається об'єм родового поняття, тобто визначаються його види, називається в логіці розподілом об'єму поняття. Поняття, об'єм якого ділиться, називається діленим, а поняття, що виходять в результаті розподіли, називаються членами розподілу. Розподіл об'єму поняття проводиться не довільно, а на основі якої-небудь ознаки, властивої родовому і видовим поняттям. Ознака, по якій проводиться розподіл об'єму родового поняття на види, називається підставою розподілу.

Розподіл об'єму поняття необхідно проводити на основі істотних ознак. Залежно від підстави розподілу родові поняття можуть мити розділені на абсолютно різні види.

При здійсненні операції розподілу об'єму поняття необхідно слідувати певним правилам:

1. Члени розподілу (видові поняття) повинні виключати один одного, тобто кожний предмет входить в об'єм тільки одного видового поняття.

2. При одному і тому ж розподілі потрібно користуватися однією підставою розподілу.

Наприклад, родове поняття «робітник» по підставі «професія» ділиться на наступні види: «слюсар», «токар», «коваль» і т. д., а по ознаці «освіта» — що «закінчив 10 класів», що «закінчив 8 класів» і т.д.

Будь-яке поняття можна розділити по різних підставах, але у кожному окремому випадку розподіли поняття повинна витримуватися одна ознака як підстава розподілу.

Приклади розподілу по різних ознаках поняття «число»:

1) позитивне і негативне;

2) ціле і дробове;

3) просте і складове;

4) іменоване і відвернуте;

5) парне і непарне;

6) раціональне і ірраціональне;

7) уявне і дійсне.

Вибір тієї або іншої підстави в кожному розподілі визначається цілями, які ставить людина в процесі вивчення предметів матеріального миру. В учбовій практиці досить часто допускається розподіл відразу по декількох підставах. Так, учні (а деколи і самі вчителі), перераховуючи види руху, називають: вертикальний рух, вільний рух, прямолінійний, криволінійний і т. д., а перераховуючи на уроках геометрії трикутники, розташовують в один ряд: рівнобедрені, гострокутні, прямокутні, подібні.

3. Члени розподілу (видові поняття) повинні бути найближчими видовими поняттями даного родового, інакше кажучи, розподіл повинен бути безперервним, не перескакувати через види, а переходити від роду до його найближчих видів.

Наприклад, до листяних дерев відносяться береза, дуб, липа, осика і т.д. Але не можна говорити, що ліс буває листяна, змішана, берези, осики, сосни і т.д. невірний розподіл типу: «Тварини — кішка, собака, верблюд, слон, бегемот і т.д.». Вірно: «Тварини — хижі і нехижі, дикі і домашні і т. д.».

Порушення цього правила називається стрибком в розподілі. Прикладом подібної помилки є наступний розподіл:

«Небесне тіло — зірка, планета, Земля». « Небесне тіло» не є найближчим родом для поняття «Земля». Для поняття «Земля» найближчий рід — «Планета». Відношення об'ємів даних понять можна зобразити схемою, представленою на мал. 2.

4. Розподіл повинен бути відповідним, тобто сума об'ємів видових понять повинна дорівнювати об'єму діленого родового поняття. При порушенні цього правила припускається двох помилки: помилка вузького розподілу об'єму поняття і помилка широкого розподілу об'єму поняття. Розкриємо зміст цих помилок докладніше:

а) вузький розподіл об'єму поняття. Суть цієї помилки в тому, що при розподілі родового поняття перераховуються не всі види, що входять в його об'єм, тобто сума об'ємів видових понять менше об'єму діленого поняття. Наприклад, перераховуючи основні характеристики елементарних частинок, називають тільки заряд і спин. Перераховуючи види газових розрядів, називають тільки іскровою, дуговий і коронний, але не указують тліючий розряд. В поняття внутрішньої енергії учні включають тільки кінетичну і потенційну, енергію взаємодії молекул (не включають енергію зв'язку електронних оболонок, внутріядерну, енергію гравітаційної взаємодії частинок і ін.);

б) широкий розподіл об'єму поняття. При широкому розподілі вводять такі види, які не містяться в об'ємі діленого поняття, тобто сума об'ємів видових понять більше об'єму родового поняття. Наприклад, перераховуючи основні одиниці вимірювання фізичних величин в системі СІ в механіці, учень назвав метр, кілограм, ампер, ньютон, джоуль і секунду. Але ампер, ньютон і джоуль не містяться в об'ємі вказаного поняття. Ампер — одна з основних одиниць вимірювання в системі СІ, але не в механіці, а джоуль і ньютон — похідні одиниці. З погляду операції порівняння всі поняття в логіці справ» на порівнянні і незрівнянні. Порівнянними називаються поняття, що мають яку-небудь загальну ознаку. Загальним біля порівнянних понять є родове поняття (родова ознака), в об'єм якого вони входять.

Незрівнянними називаються поняття, які неможливо порівняти ні за об'ємом, ні за змістом. Незрівнянні поняття: не мають загального роду, і їх зміст істотно різний. Наприклад: «стіл» і «верблюд», «соловей» і «олівець».

Разом з тим необхідно відзначити: не можна вважати, що існують незрівнянні поняття взагалі. Як би два поняття не були різними і за змістом, і за об'ємом, вони можуть бути порівнянні. Як вже було сказано вище, кожне поняття пов'язано зі всіма іншими.

По характеру відносин порівнянні поняття діляться на дві; групи: сумісні і несумісні.

Сумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака).

Їх видові ознаки співпадають частково або повністю. Звідси витікає, що об'єми сумісних понять можуть співпадати частково.

1.5. Види понять.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

2)означувані;

3) поняття, які вводяться описуванням, на прикладах.

В останньому випадку учні частково дістають уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не формулюється з дидактичних міркувань. Розглянемо особливості методики формування трьох основних видів понять.

Первісні поняття. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за допомогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» - для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реальних існуючих об'єктів довкілля.

Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.

Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і b перетинаються в точці С», або «точка С є точкою перетину прямих а і b».

Учні мають усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв'язати кілька вправ на підведення до цього поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної (Мал.3).

Я кщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а будь – яка точка відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.

Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і D цього кола. Учні мають уміти обґрунтовувати неправильність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття.

Означувані поняття. У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, багаточлен, степінь багаточлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.

Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.

Характеристики

Список файлов ВКР