86226 (589948), страница 2

Файл №589948 86226 (Формирование понятия функции в курсе математики средней школы) 2 страница86226 (589948) страница 22016-07-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) = , D(f) = [0; ]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех х R.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+ ), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0; ], косинус, определенный на отрезке [ , и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых log sin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 log sin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

log sin x = 0

log sin x = log 1

sin x = 1, откуда

x = + 2 n, n Z.

Таким образом, D(y) = { +2 n , n Z}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

log sin ( + 2 n) = log 1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.

При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х = а или х = 1 - а . Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а 0, откуда а [-1;1], но с учетом, а 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а [0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y = + .

Решение:

Функция y = определена для значений x 0;

Функция y = определена для значений 4+x 0;

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x (-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х) Х для любого х Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (- );

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+ );

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

  1. область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

  2. для любого х D(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х не является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sin x; у = 2 ; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех х D(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:






_


+


+





_



+


Пример: исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8 ; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8 является числовая прямая (- ; + ) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8 ;

f(-x) = 8 = 8 . Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y = является промежуток (0; + ) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у = находится из условия или (x – 1)(x + 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у = является чётной.

4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (- ; -3) (-3; 3) (3; + ) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) = = - .

Так как f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x); = f(x) - (x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = - (x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = - (x)

(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = - (x).

Полученные равенства означают, что (x) и (x) – нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф (x) и Ф (x) соответственно:

Ф (x) = f(x) (x); Ф (x) = ( (x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:

Ф (-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (- (x)) = f(x) (x) = Ф (x);

Ф (-x) = = = = Ф (x).

Полученные равенства доказывают, что Ф (x) и Ф (x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G (x),

разность функций G (x), произведение функций G (x), частное данных функций G (x) соответственно:

G (x) = f(x) + (x); G (x) = f(x) - (x); G (x) = f(x) (x);

G (x) = ( 0).

Докажем, что G (x), G (x), G (x), G (x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:

G (-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G (x);

G (-x) = = = G (x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
3,64 Mb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее