86226 (589948), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) = , D(f) = [0; ]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех х R.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+ ), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0; ], косинус, определенный на отрезке [ , и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых log sin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 log sin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

log sin x = 0

log sin x = log 1

sin x = 1, откуда

x = + 2 n, n Z.

Таким образом, D(y) = { +2 n , n Z}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

log sin ( + 2 n) = log 1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.

При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х = а или х = 1 - а . Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а 0, откуда а [-1;1], но с учетом, а 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а [0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y = + .

Решение:

Функция y = определена для значений x 0;

Функция y = определена для значений 4+x 0;

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x (-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х) Х для любого х Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (- );

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+ );

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1. область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2. для любого х D(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х не является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sin x; у = 2 ; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех х D(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

_

+

+

_

+

Пример: исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8 ; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8 является числовая прямая (- ; + ) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8 ;

f(-x) = 8 = 8 . Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y = является промежуток (0; + ) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у = находится из условия или (x – 1)(x + 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у = является чётной.

4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (- ; -3) (-3; 3) (3; + ) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) = = - .

Так как f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x); = f(x) - (x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = - (x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = - (x)

(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = - (x).

Полученные равенства означают, что (x) и (x) – нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф (x) и Ф (x) соответственно:

Ф (x) = f(x) (x); Ф (x) = ( (x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:

Ф (-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (- (x)) = f(x) (x) = Ф (x);

Ф (-x) = = = = Ф (x).

Полученные равенства доказывают, что Ф (x) и Ф (x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G (x),

разность функций G (x), произведение функций G (x), частное данных функций G (x) соответственно:

G (x) = f(x) + (x); G (x) = f(x) - (x); G (x) = f(x) (x);

G (x) = ( 0).

Докажем, что G (x), G (x), G (x), G (x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:

G (-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G (x);

G (-x) = = = G (x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

Характеристики

Список файлов ВКР