86226 (589948), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как
Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех х
R.
Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.
Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.
Пример:
у = ,
определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+
), это разные функции.
Косинус, определенный, например, на отрезке [0; ], косинус, определенный на отрезке [
, и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.
Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.
Рассмотрим примеры:
1. Пусть дана функция
y = .
Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых log sin x
0 и sin x>0. Так как
, то для 0 < sin x < 1 log
sin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение
log sin x = 0
log sin x = log
1
sin x = 1, откуда
x = + 2
n, n
Z.
Таким образом, D(y) = { +2
n , n
Z}.
Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку
log sin (
+ 2
n) = log
1 = 0.
2. Найти область изменения функции
у = .
Решение:
Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.
При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х
= а
или х
= 1 - а
. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а
0, откуда а
[-1;1], но с учетом, а
0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а
[0;1], поэтому E(y) = [0;1].
3. Найти область определения функции
y = +
.
Решение:
Функция y =
определена для значений x
0;
Функция y =
определена для значений 4+x
0;
Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x (-4;0]. Он и есть область определения данной функции.
Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.
§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические
Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х) Х для любого х
Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).
Примеры симметричных относительно нуля множеств:
отрезок [-5;5];
интервал [-3;3];
числовая прямая (- );
Примеры несимметричных множеств:
отрезок [-5;4];
интервал (-2;3);
луч [-10;+ );
Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.
Определение:
Функция у = f(x) называется четной, если:
-
область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;
-
для любого х
D(f) выполняется равенство
f(-x) = f(x)
Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.
Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х
не является нечетной.
Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции
у=1+sin x; у = 2 ; у =
.
Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:
а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;
б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;
в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:
f(-x) = f(x) (1)
или f(-x) = f(x) (2) для всех х D(f)
Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:
_
+
+
_
+
Пример: исследовать на четность и нечетность функции:
1) у = 8 ; 2) у =
; 3) у =
; 4) у =
.
Областью определения функции у = 8 является числовая прямая (-
; +
) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8
;
f(-x) = 8 = 8
. Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.
2) Областью определения функции y = является промежуток (0; +
) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y =
не является ни чётной, ни нечётной.
3) Область определения функции у = находится из условия
или (x – 1)(x + 1)
, таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем
f(x) = ; f(-x) =
=
, т.е. функция у =
является чётной.
4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель
= 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-
; -3)
(-3; 3)
(3; +
) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) =
; f(x) =
= -
.
Так как f(-x) f(x) и f(-x)
-f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.
Свойство 1. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.
Доказательство.
Пусть Функции y = (x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций
(x) и
(x) соответственно:
(x) = f(x) +
(x);
= f(x) -
(x).
Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = -
(x), то
(-x) = f(-x) +
(-x) = -f(x) -
(x) = - (f(x) +
(x)) = -
(x)
(-x) = f(-x) -
(-x) = -f(x) +
(x) = - (f(x) -
(x)) = -
(x).
Полученные равенства означают, что (x) и
(x) – нечётные функции.
Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.
Доказательство
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф
(x) и Ф
(x) соответственно:
Ф (x) = f(x)
(x); Ф
(x) =
(
(x)
0).
Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:
Ф (-x) = f(-x)
(-x) = (-f(x)) (-
(x)) = f(x)
(x) = Ф
(x);
Ф (-x) =
=
=
= Ф
(x).
Полученные равенства доказывают, что Ф (x) и Ф
(x) функции чётные.
Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G
(x),
разность функций G (x), произведение функций G
(x), частное данных функций G
(x) соответственно:
G (x) = f(x) +
(x); G
(x) = f(x) -
(x); G
(x) = f(x)
(x);
G (x) =
(
0).
Докажем, что G (x), G
(x), G
(x), G
(x) – чётные функции.
Доказательство
Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:
G (-x) = f(-x) +
(-x) = f(x) +
(x) = G
(x);
G (-x) = f(-x) -
(-x) = f(x) -
(x) = G
(x);
G (-x) = f(-x)
(-x) = f(x)
(x) = G
(x);
G (-x) =
=
= G
(x).
Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению