86161 (589942), страница 3

Файл №589942 86161 (Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп) 3 страница86161 (589942) страница 32016-07-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Покладемо , і для . Тоді Крім того, радикальне розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання у якому де - регулярна площина й для . За допомогою 7 знайдемо ізометрію простору на , погоджену з на кожному , а отже, на . Крім того, дане відображає на . Виходить, існує продовження ізометрії до ізометрії простору на .

Далі , тому що ізометричне , тому й, отже, по теоремі 19 існує ізометрія простору на . Таким чином, існує продовження ізометрії до ізометрії простору на .

5. Проективні перетворення

Геометричне перетворення абстрактного векторного простору на абстрактний векторний простір - це біекція з наступною властивістю: підмножина простору тоді й тільки тоді є підпростором в , коли - підпростір в.

Очевидно, що композиція геометричних перетворень - геометричне перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, - також геометричне. Геометричне перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також ряди Жордана - і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 25 Якщо - геометричне перетворення простору на , те для будь-яких підпросторів , простори виконуються співвідношення

Під проективним простором простору ми будемо розуміти множину всіх підпросторів простору . Таким чином, складається з елементів множини , що є підпросторами в ; . Будь-які два елементи й з мають об'єднання й перетинання, а саме й , так що - ґрати; вона має найбільший елемент і найменший елемент . Кожному елементу простору зіставляється число . Кожне з володіє поруч Жордана - Гельдера , і всі такі ряди мають довжину . Покладемо

і назвемо , , множинами прямих, площин і гіперплощин простору відповідно.

Проективність простору на - це біекция з наступною властивістю: для будь-яких , із включення має місце тоді й тільки тоді, коли .

Очевидно, що композиція проективностей - проективність і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність простору на зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів і , що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 26 Якщо - проективність простору на , те для будь-яких елементів , з виконуються співвідношення

Зокрема, відображає на й визначається своїми значеннями на , тобто на прямих.

Якщо - геометричне перетворення, то відображення , отримане зі звуженням, є проективністю простору на . Усяка проективність , що має вид для деякого такого , буде називатися проективним геометричним перетворенням простору на . Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення , отриманого описаним способом з геометричного перетворення . Таким чином, переводить підпростір простору , тобто крапку з , у підпростір простору . Маємо

Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.

Геометричне перетворення простору є по визначенню геометричне перетворення простору на себе. Множина геометричних перетворень простору є підгрупою групи підстановок множини . Вона буде позначатися через і називатися загальною геометричною групою простору . Під групою геометричних перетворень простору ми будемо розуміти довільну підгрупу групи . Загальна лінійна група й спеціальна лінійна група є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Проективність простору є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору - підгрупа групи підстановок множини , що ми будемо називати загальною групою проективностей простору . Застосування риси індуцирує гомоморфізм

Іноді ми будемо використовувати замість , думаючи для образа підмножини із при . Зокрема, і - підгрупи групи проективностей простору , вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору .

Було доведено, що збігається із групою всіх проективностей простору , тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи , а під проективною групою лінійних перетворень простору - будь-яку підгрупу групи .

Для кожного ненульового елемента з визначимо лінійне перетворення , думаючи Ясно, що . Перетворення з виду для якогось будемо називати розтяганням простору .

Множина розтягань простору є нормальною підгрупою групи , що буде позначатися через . Очевидно, має місце ізоморфізм . Мають місце наступні дві пропозиції.

Пропозиція 27 Елемент групи тоді й тільки тоді належить групі , коли для всіх прямих з . Зокрема,

Пропозиція. 28 Централізатор у будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.

Нехай тепер - регулярний знакозмінний простір. Тоді буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору ми будемо розуміти довільну підгрупу з . Група , одержувана із застосуванням гомоморфізму , називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Пропозиція 29 Якщо - ненульовий регулярний знакозмінний простір, те

Доказ є легкою вправою й тому опускається.

Пропозиція 30 Якщо - регулярний знакозмінний простір і , те .

Доказ. Взявши симплектичну базу простору , за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент із тоді й тільки тоді лежить в , коли .

Полярністю абстрактного векторного простору над полем називається біекция , , така, що 1) , 2) для всіх , з . Якщо - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть, - полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою , наявної на .

Пропозиція 31 Нехай - абстрактний векторний простір над полем і . Припустимо, що - регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм і . Форми й тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент із , що .

Доказ. Якщо , то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що регулярно відносно й , те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення й біективні, тобто й . З 16 і припущення про те, що й визначають ту саму полярність, треба, що для всіх підпросторів з . Отже, - елемент групи , щодо якого інваріантні всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через 27 . Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент із , що для всіх з . Але тоді для всіх з . Тому .

6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп

Пропозиція 32 Якщо поле нескінченно, те групи , над також нескінченні.

Доказ. Число трансвекцій з нескінченно.

Теорема 33 Порядок групи дорівнює

Порядок групи дорівнює

Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група ізоморфна групі . Доведемо перше твердження індукцією по . Якщо , то й можна вважати .

Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів , , таку, що . Якщо фіксовано, то існує єдина пара , де належить даній прямій, не ортогональної к. Тому число пар з на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в , тобто

Таким чином, є пара з на першому місці, а всього пара.

Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари найдеться принаймні один елемент групи , що переводить в. Отже, є точно

елементів з , що переводять пари в парі . По припущенню індукції це число дорівнює

Далі, кожний елемент групи переводить точно в одну пару. Отже, група містить

елементів, що й було потрібно довести.

Пропозиція 34Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору дорівнює

Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа групи , що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір простору , має порядок

Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу

простору , у якій вектори породжують . Із 23 треба, що матриця довільного перетворення має вигляд

де , а - симетрична матриця порядку над ; ці й визначаються перетворенням однозначно. Крім того, будь-які такі й відповідають якомусь із . Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи на число симетричних матриць порядку над полем , тобто .

2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір простору . По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору даються формулою , де пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно

раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи , діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
3,37 Mb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее