86161 (589942), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Покладемо ,
і
для
. Тоді
Крім того,
радикальне розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання
у якому
де
- регулярна площина й
для
. За допомогою 7 знайдемо ізометрію простору
на
, погоджену з
на кожному
, а отже, на
. Крім того, дане
відображає
на
. Виходить, існує продовження ізометрії
до ізометрії простору
на
.
Далі , тому що
ізометричне
, тому
й, отже, по теоремі 19 існує ізометрія простору
на
. Таким чином, існує продовження ізометрії
до ізометрії простору
на
.
5. Проективні перетворення
Геометричне перетворення абстрактного векторного простору
на абстрактний векторний простір
- це біекція
з наступною властивістю: підмножина
простору
тоді й тільки тоді є підпростором в
, коли
- підпростір в.
Очевидно, що композиція геометричних перетворень - геометричне перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, - також геометричне. Геометричне перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також ряди Жордана - і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.
Пропозиція 25 Якщо - геометричне перетворення простору
на
, те для будь-яких підпросторів
,
простори
виконуються співвідношення
Під проективним простором простору
ми будемо розуміти множину всіх підпросторів простору
. Таким чином,
складається з елементів множини
, що є підпросторами в
;
. Будь-які два елементи
й
з
мають об'єднання й перетинання, а саме
й
, так що
- ґрати; вона має найбільший елемент
і найменший елемент
. Кожному елементу
простору
зіставляється число
. Кожне
з
володіє поруч Жордана - Гельдера
, і всі такі ряди мають довжину
. Покладемо
і назвемо ,
,
множинами прямих, площин і гіперплощин простору
відповідно.
Проективність простору
на
- це біекция
з наступною властивістю: для будь-яких
,
із
включення
має місце тоді й тільки тоді, коли
.
Очевидно, що композиція проективностей - проективність і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність простору на
зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів
і
, що тому справедливо випливає пропозиція.
Пропозиція 26 Якщо - проективність простору
на
, те для будь-яких елементів
,
з
виконуються співвідношення
Зокрема, відображає
на
й визначається своїми значеннями на
, тобто на прямих.
Якщо - геометричне перетворення, то відображення
, отримане зі
звуженням, є проективністю простору
на
. Усяка проективність
, що має вид
для деякого такого
, буде називатися проективним геометричним перетворенням простору
на
. Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення
, отриманого описаним способом з геометричного перетворення
. Таким чином,
переводить підпростір
простору
, тобто крапку
з
, у підпростір
простору
. Маємо
Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.
Геометричне перетворення простору є по визначенню геометричне перетворення простору
на себе. Множина геометричних перетворень простору
є підгрупою групи підстановок множини
. Вона буде позначатися через
і називатися загальною геометричною групою простору
. Під групою геометричних перетворень простору
ми будемо розуміти довільну підгрупу групи
. Загальна лінійна група
й спеціальна лінійна група
є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи
.
Проективність простору є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору
- підгрупа групи підстановок множини
, що ми будемо називати загальною групою проективностей простору
. Застосування риси індуцирує гомоморфізм
Іноді ми будемо використовувати замість
, думаючи
для образа
підмножини
із
при
. Зокрема,
і
- підгрупи групи проективностей простору
, вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору
.
Було доведено, що збігається із групою всіх проективностей простору
, тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору
будемо розуміти будь-яку підгрупу групи
, а під проективною групою лінійних перетворень простору
- будь-яку підгрупу групи
.
Для кожного ненульового елемента з
визначимо лінійне перетворення
, думаючи
Ясно, що
. Перетворення
з
виду
для якогось
будемо називати розтяганням простору
.
Множина розтягань простору є нормальною підгрупою групи
, що буде позначатися через
. Очевидно, має місце ізоморфізм
. Мають місце наступні дві пропозиції.
Пропозиція 27 Елемент групи
тоді й тільки тоді належить групі
, коли
для всіх прямих
з
. Зокрема,
Пропозиція. 28 Централізатор у будь-якого елемента з
, що не є розтяганням, абелев.
Нехай тепер - регулярний знакозмінний простір. Тоді
буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору
. Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору
ми будемо розуміти довільну підгрупу з
. Група
, одержувана із
застосуванням гомоморфізму
, називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору
. Під проективною групою симплектичних перетворень простору
будемо розуміти будь-яку підгрупу групи
.
Пропозиція 29 Якщо - ненульовий регулярний знакозмінний простір, те
Доказ є легкою вправою й тому опускається.
Пропозиція 30 Якщо - регулярний знакозмінний простір і
, те
.
Доказ. Взявши симплектичну базу простору , за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент
із
тоді й тільки тоді лежить в
, коли
.
Полярністю абстрактного векторного простору над полем
називається біекция
,
, така, що 1)
, 2)
для всіх
,
з
. Якщо
- регулярний знакозмінний простір над
, те, мабуть,
- полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою
, наявної на
.
Пропозиція 31 Нехай - абстрактний векторний простір над полем
і
. Припустимо, що
- регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм
і
. Форми
й
тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент
із
, що
.
Доказ. Якщо , то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що
регулярно відносно
й
, те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення
й
біективні, тобто
й
. З 16 і припущення про те, що
й
визначають ту саму полярність, треба, що
для всіх підпросторів
з
. Отже,
- елемент групи
, щодо якого інваріантні всі підпростори з
, Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з
. Виходить, через 27
. Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент
із
, що
для всіх
з
. Але тоді
для всіх
з
. Тому
.
6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп
Пропозиція 32 Якщо поле нескінченно, те групи
,
над
також нескінченні.
Доказ. Число трансвекцій з
нескінченно.
Теорема 33 Порядок групи дорівнює
Порядок групи дорівнює
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група ізоморфна групі
. Доведемо перше твердження індукцією по
. Якщо
, то
й можна вважати
.
Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів ,
, таку, що
. Якщо
фіксовано, то існує єдина пара
, де
належить даній прямій, не ортогональної к.
Тому число пар з
на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в
, тобто
Таким чином, є пара з
на першому місці, а всього
пара.
Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари
найдеться принаймні один елемент групи
, що переводить
в.
Отже, є точно
елементів з , що переводять пари
в парі
. По припущенню індукції це число дорівнює
Далі, кожний елемент групи переводить
точно в одну пару. Отже, група
містить
елементів, що й було потрібно довести.
Пропозиція 34Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору
дорівнює
Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа групи
, що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір
простору
, має порядок
Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу
простору , у якій вектори
породжують
. Із 23 треба, що матриця довільного перетворення
має вигляд
де , а
- симетрична матриця порядку
над
; ці
й
визначаються перетворенням
однозначно. Крім того, будь-які такі
й
відповідають якомусь
із
. Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи
на число симетричних матриць порядку
над полем
, тобто
.
2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір простору
. По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору
даються формулою
, де
пробігає групу
. Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно
раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи , діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.