Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Покладемо , і для . Тоді Крім того, радикальне розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання у якому де - регулярна площина й для . За допомогою 7 знайдемо ізометрію простору на , погоджену з на кожному , а отже, на . Крім того, дане відображає на . Виходить, існує продовження ізометрії до ізометрії простору на .

Далі , тому що ізометричне , тому й, отже, по теоремі 19 існує ізометрія простору на . Таким чином, існує продовження ізометрії до ізометрії простору на .

5. Проективні перетворення

Геометричне перетворення абстрактного векторного простору на абстрактний векторний простір - це біекція з наступною властивістю: підмножина простору тоді й тільки тоді є підпростором в , коли - підпростір в.

Очевидно, що композиція геометричних перетворень - геометричне перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, - також геометричне. Геометричне перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також ряди Жордана - і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 25 Якщо - геометричне перетворення простору на , те для будь-яких підпросторів , простори виконуються співвідношення

Під проективним простором простору ми будемо розуміти множину всіх підпросторів простору . Таким чином, складається з елементів множини , що є підпросторами в ; . Будь-які два елементи й з мають об'єднання й перетинання, а саме й , так що - ґрати; вона має найбільший елемент і найменший елемент . Кожному елементу простору зіставляється число . Кожне з володіє поруч Жордана - Гельдера , і всі такі ряди мають довжину . Покладемо

і назвемо , , множинами прямих, площин і гіперплощин простору відповідно.

Проективність простору на - це біекция з наступною властивістю: для будь-яких , із включення має місце тоді й тільки тоді, коли .

Очевидно, що композиція проективностей - проективність і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність простору на зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів і , що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 26 Якщо - проективність простору на , те для будь-яких елементів , з виконуються співвідношення

Зокрема, відображає на й визначається своїми значеннями на , тобто на прямих.

Якщо - геометричне перетворення, то відображення , отримане зі звуженням, є проективністю простору на . Усяка проективність , що має вид для деякого такого , буде називатися проективним геометричним перетворенням простору на . Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення , отриманого описаним способом з геометричного перетворення . Таким чином, переводить підпростір простору , тобто крапку з , у підпростір простору . Маємо

Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.

Геометричне перетворення простору є по визначенню геометричне перетворення простору на себе. Множина геометричних перетворень простору є підгрупою групи підстановок множини . Вона буде позначатися через і називатися загальною геометричною групою простору . Під групою геометричних перетворень простору ми будемо розуміти довільну підгрупу групи . Загальна лінійна група й спеціальна лінійна група є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Проективність простору є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору - підгрупа групи підстановок множини , що ми будемо називати загальною групою проективностей простору . Застосування риси індуцирує гомоморфізм

Іноді ми будемо використовувати замість , думаючи для образа підмножини із при . Зокрема, і - підгрупи групи проективностей простору , вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору .

Було доведено, що збігається із групою всіх проективностей простору , тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи , а під проективною групою лінійних перетворень простору - будь-яку підгрупу групи .

Для кожного ненульового елемента з визначимо лінійне перетворення , думаючи Ясно, що . Перетворення з виду для якогось будемо називати розтяганням простору .

Множина розтягань простору є нормальною підгрупою групи , що буде позначатися через . Очевидно, має місце ізоморфізм . Мають місце наступні дві пропозиції.

Пропозиція 27 Елемент групи тоді й тільки тоді належить групі , коли для всіх прямих з . Зокрема,

Пропозиція. 28 Централізатор у будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.

Нехай тепер - регулярний знакозмінний простір. Тоді буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору ми будемо розуміти довільну підгрупу з . Група , одержувана із застосуванням гомоморфізму , називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Пропозиція 29 Якщо - ненульовий регулярний знакозмінний простір, те

Доказ є легкою вправою й тому опускається.

Пропозиція 30 Якщо - регулярний знакозмінний простір і , те .

Доказ. Взявши симплектичну базу простору , за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент із тоді й тільки тоді лежить в , коли .

Полярністю абстрактного векторного простору над полем називається біекция , , така, що 1) , 2) для всіх , з . Якщо - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть, - полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою , наявної на .

Пропозиція 31 Нехай - абстрактний векторний простір над полем і . Припустимо, що - регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм і . Форми й тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент із , що .

Доказ. Якщо , то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що регулярно відносно й , те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення й біективні, тобто й . З 16 і припущення про те, що й визначають ту саму полярність, треба, що для всіх підпросторів з . Отже, - елемент групи , щодо якого інваріантні всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через 27 . Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент із , що для всіх з . Але тоді для всіх з . Тому .

6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп

Пропозиція 32 Якщо поле нескінченно, те групи , над також нескінченні.

Доказ. Число трансвекцій з нескінченно.

Теорема 33 Порядок групи дорівнює

Порядок групи дорівнює

Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група ізоморфна групі . Доведемо перше твердження індукцією по . Якщо , то й можна вважати .

Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів , , таку, що . Якщо фіксовано, то існує єдина пара , де належить даній прямій, не ортогональної к. Тому число пар з на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в , тобто

Таким чином, є пара з на першому місці, а всього пара.

Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари найдеться принаймні один елемент групи , що переводить в. Отже, є точно

елементів з , що переводять пари в парі . По припущенню індукції це число дорівнює

Далі, кожний елемент групи переводить точно в одну пару. Отже, група містить

елементів, що й було потрібно довести.

Пропозиція 34Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору дорівнює

Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа групи , що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір простору , має порядок

Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу

простору , у якій вектори породжують . Із 23 треба, що матриця довільного перетворення має вигляд

де , а - симетрична матриця порядку над ; ці й визначаються перетворенням однозначно. Крім того, будь-які такі й відповідають якомусь із . Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи на число симетричних матриць порядку над полем , тобто .

2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір простору . По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору даються формулою , де пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно

раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи , діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.

Характеристики

Список файлов ВКР