86161 (589942), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Якщо існує хоча б одна база, у якій має матрицю , то будемо писати . Матриця , асоційована зі знакозмінним простором зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що в базі й - матриця переходу від першої бази до другого, тобто . Тоді звідки видно, що зміна матриці простору при зміні бази описується співвідношенням .

Якщо - абстрактний векторний простір з базою й - довільна знакозмінна - матриця над , то існує єдиний спосіб перетворити в знакозмінний простір, таке, що в , а саме, покласти , де - елемент, що стоїть в матриці на місці . Пропозицію 8 Припустимо, що - знакозмінний простір, - його база й в. Тоді матричний ізоморфізм, певний базою , відображає на групу всіх оборотних - матриць над , що задовольняють співвідношенню

Дискримінантом векторів у знакозмінному просторі називається визначник

Зокрема, якщо - база простору й у цій базі, те Якщо - інша база, то співвідношення показує, що для якогось із . Отже, канонічний образ елемента в не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору й позначається через . Тут множина визначається очевидним образом: беремо , приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис , де , буде позначати, що дорівнює канонічному образу елемента в або, інакше кажучи, що має базу , для якої . Якщо , то думаємо .

Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Нехай - його база, а - сполучена база сполученого простору . Нехай в. Тоді . Легко бачити, що матриця лінійного перетворення , певного раніше, щодо баз і дорівнює ; дійсно, якщо , те

Аналогічно матриця перетворення щодо баз і дорівнює .

Пропозиція 10 Будь-які векторів знакозмінного простору , такі, що , лінійно незалежно.

Доказ. Залежність спричиняє для . Це означає залежність між рядками матриці , що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.

Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору рівносильні:

,

,

,

біективно, біективно.

Доказ. Можна вважати, що . Зафіксуємо базу простору , і нехай - сполучена база. Нехай в. Через 9

	оборотна
	біективно,

тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі

біективно
	,

так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12Знакозмінний простір називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозмінний простір називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .

Якщо , то регулярно. Якщо , то через Пропозиція11 і 12

Пропозиція.13 Нехай - уявлення знакозмінних просторів. Якщо регулярно, то - ізометрія.

Доказ. Візьмемо з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору одержуємо, що .

Пропозиція 14Кожній базі регулярного знакозмінного простору відповідає єдина база цього простору, називана сполученої до відносно й така, що для всіх , . Якщо в и в , то .

Доказ.1) Покладемо для , де - сполучена до база сполученого простору . Тоді - база, тому що біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності. 2) Нехай . Тоді й Звідси , так що й .

Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що має ортогональне розкладання на підпростори якщо воно є прямою сумою з попарно ортогональними , тобто при . Назвемо компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір розщеплює або що є компонентом простору , якщо існує підпростір простору , таке, що . Маємо де добуток береться в.

Розглянемо два знакозмінних простори й над тим самим полемо й припустимо, що є ортогональне розкладання , а - сума просторів , , причому при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним на . Насправді легко перевірити, що - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді

Важливим є випадок, коли , для всіх і для всіх ; тоді

Якщо дано ще одне таке уявлення , то

Розглянемо знакозмінний простір над полем . Під ортогональним доповненням підпростору простору в розуміється підпростір

співпадаюче також з

Визначимо радикал простору як підпростір . Очевидно,

Пропозиція15 Нехай - знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто , де при . Тоді

,

регулярно кожне регулярно,

регулярно .

Доказ. (1) Візьмемо в довільний елемент і запишемо його у вигляді , . Тоді

так що , звідки . Обернено, якщо , де , те звідки . (2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює . (3) Якщо , , те звідки . Отже, і, виходить, .

Пропозиція 16 Якщо - підпростір знакозмінного простору , те - анулятор простору в , тобто . Зокрема, .

Доказ безпосередньо треба з визначень.

Пропозиція 17 Нехай - регулярний підпростір знакозмінного простору . Тоді розщеплює , точніше, . Якщо - інше розщеплення, .

Доказ. Тому що регулярно, те . Отже, через 16

Тому й, виходить, . Далі, якщо , те , звідки . Порівнюючи розмірності, одержуємо .

Пропозиція 18 Якщо й - довільні підпростори регулярного знакозмінного простору розмірності , те

,

,

,

,

.

Доказ. Тому що регулярно, те через Пропозиція11 відображення біективно. Отже, , звідки через 16 . Цим доведено (1). Далі, , тому порівняння дає . Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):

Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.

Розглянемо радикал знакозмінного простору , і нехай - підпростір простору , таке, що . Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору . Очевидно, визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли регулярно або цілком вироджене.

Зі співвідношень

треба рівність , тому регулярно.

Теорема 19 Якщо - регулярний знакозмінний простір розмірності , те

Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант . Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем ізометричні.

Доказ. Через регулярність простору існують вектори й , що задовольняють умові . Тому що , те ці вектори повинні бути незалежними; тому - площина. Очевидно,

Зокрема, регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через 17 . Але - також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.

База регулярного знакозмінного простору називається гіперболічної, якщо

і сімплектичною, якщо

Якщо

гіперболічна база простору , то перестановка

симплектична база, і навпаки. По теоремі 19 ненульовий регулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому й симплектичну базу.

Пропозиція 20 Нехай - регулярний знакозмінний простір, - цілком вироджений підпростір і - база підпростору . Тоді існує регулярний підпростір простору виду , де - регулярні площини й , .

Доказ. Випадок очевидний. При застосовуємо індукцію по . Покладемо й . Тоді , звідки через 18. Виберемо й покладемо . Тоді , , і, отже, . Виходить, - регулярна площина, що містить . У силу 17 можна записати . Тоді , тому що й отже, . Залишається застосувати припущення індукції до розглянутого як підпростір знакозмінного простору .

Пропозиція 21 Якщо - максимальне цілком вироджений підпростір регулярного знакозмінного простору , те . Доказ. Тому що цілком вироджене, те , тому через 18 , звідки .

Якщо допустити, що , то нескладне застосування тверджень 20 і 17 дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить у протиріччя з максимальністю . Тому .

Пропозиція.22 Якщо й - максимальні цілком вироджені підпростору регулярного знакозмінного простору , що задовольняють умові , то для кожної бази простору М існує така база простору , що - симплектична база простору .

Доказ. Зрозуміло, (через 21). Нехай , - база підпростору . Тоді - база простору .

Нехай - сполучена до неї база відносно (див. 14). Оскільки , те елементи лежать в. Виходить, - база простору , а симплектична база в.

Пропозиція 23 Нехай - регулярний знакозмінний простір і його симплектична база.

Нехай - максимальне цілком вироджений простір . Тоді матричний ізоморфізм, асоційований з , відображає групу лінійних перетворень на групу матриць виду

де - оборотна - матриця, а - матриця задовольняє співвідношенню .

Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження 8.

Теорема Витта 24 Нехай і - ізометричні регулярні знакозмінні простори над тим самим полем . Якщо - довільний підпростір простору й - ізометрія в , то її можна продовжити до ізометрії простору на .

Доказ. Візьмемо радикальне розкладання , і нехай - база підпростору (мається на увазі, що , якщо ). Застосовуючи 20 до регулярного знакозмінного простору , ми бачимо, що в ньому існує підпростір виду е - регулярні площини й , . Тому що регулярно, те воно розщеплює ; отже, існує регулярний підпростір простору , таке, що

Характеристики

Список файлов ВКР