86085 (589928), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Получили дифференциальное неравенство вида

,

где , а . По лемме это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. В качестве множества , о котором говорится в теореме, можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое, что вне его выполняются условия, наложенные на функции и .

Применяя теорему 14, приходим к требуемому выводу.

Замечание.23 Если вместо требований, наложенных на функцию , потребовать при достаточно больших , , то, взяв , получим

А отсюда легко следует утверждение теоремы.

Замечание.24 Можно показать, что если в правой части уравнения 41 вместо функции поставить функцию которая либо ограничена для всех , либо для существует непрерывная функция такая, что при всех выполняется неравенство , то все решения уравнения при тех же предположениях относительно функций и неограниченно продолжаемы.

Замечание.25 Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения 41 легко получить из теоремы , положив .

Как отмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим из них является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении функция определена и непрерывна для всех и , как функция двух переменных, то любое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, если только выполняется неравенство , где --- функция, удовлетворяющая условию , где --- число. В простейшем случае , где --- число, т.е. получаем, что функция близка к линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на легко установить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальных неравенств, взяв . Обратное утверждение не всегда верно. Например, для уравнения

условия продолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так: для больших и для больших . Понятно, что, положив и получим, на основании теоремы , вывод о продолжимости всех решений уравнений . Но критерий Винтнера-Еругина не выполняется за счет .

Рассмотрим уравнение

4343()

эквивалентное системе

4444()

Теорема26

Пусть --- непрерывная на всех функция, а функции , и удовлетворяют условиям:

а) --- ограниченная для всех , где --- некоторое ограниченное множество, содержащее начало координат,

б) при ,

в) --- непрерывная и непрерывно дифференцируемая по функция и , для всех . Тогда все решения системы 44 или уравнения 43 неограниченно продолжаемы.

Доказательство

В самом деле, возьмем функцию

Оценивая ее производную в силу системы 44 при (для , вообще говоря больших), перейдем к неравенству

которое, очевидно, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Воспользовавшись теоремой 14, приходим к требуемому заключению.

Замечание.27 Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всех решений уравнения

4545()

и уравнения

4646()

В самом деле, при выполнении всех условий теоремы 26, полагая в первом случае и --- во втором, легко получаем

Следствие.28 Если в уравнении 46 функции , непрерывны по и соответственно и для больших , а функция для больших то все решения этого уравнения продолжимы на .

Следствие.29 Если в уравнении (46) функции , и удовлетворяют условиям:

а) непрерывна для ,

б) ограничена для больших ,

в) для больших ,

г) непрерывна и для больших , то все решения уравнения 46 неограниченно продолжимы вправо.

Пример.30 Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение

или система

Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле . Обозначим . Получаем, что

Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.

Рассмотрим уравнение

4747()

эквивалентное системе

4848()

Теорема 31

Для продолжимости всех решений уравнения 47 на достаточно выполнения условий:

1) непрерывности при всех функции ,

2) непрерывности функций и и непрерывной дифференцируемости по функции , а, кроме того, выполнения для них условий

вне некоторого ограниченного множества , содержащего начало координат.

Действительно, взяв функцию

вне множества и для достаточно больших , будем иметь

Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы 14 получаем справедливость нашего утверждения.

Заключение

В основном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка на полупрямую .

В работе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:

Для рассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условия продолжимости всех решений на полупрямую .

Приведенные примеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости нелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности применения указанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и для выявления других свойств решений дифференциальных систем.

Список использованных источников

1. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука, -- 1974., --- 331стр.

2. Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен. зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78.

3. Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.: Мир, 1964г.

4. Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г.

5. Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г.

6. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.

7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970

Характеристики

Список файлов ВКР