Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

б) либо существует такое , что при , и тогда будем говорить, что решение имеет конечное время определения.

Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга. Третий случай

в) решение ограничено.

--- совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).

Отметим, следующее

Свойство 10 Если решение ограничено в своем максимальном промежутке существования , то оно бесконечно продолжаемо, т.е. .

Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.

Неограниченная продолжимость решений системы 31 является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений этой системы.

Пример

Все решения данного уравнения бесконечно продолжаемы, но не ограничены.

Пример11

На интервале , для любого все решения данного уравнения бесконечно продолжаемы и ограничены.

Пример

Все решения , имеют конечное время определения.

Приведем без доказательства теорему Майергофера-Еругина.

Теорема Майергофера-Еругина12

Пусть решение уравнения

3434()

где функция непрерывна для всех и , определено на промежутке и непродолжимо для значений .

Тогда при , где --- граница области .

Предположим теперь, что в окрестности любой точки выполняются условия существования решения уравнения 34. Для простоты предположим, что --- скаляр.

Теорема признак Винтнера-Еругина13

Пусть функция уравнения 34 определена и непрерывна для всех вещественных и как функция двух переменных.

Тогда любое решение уравнения 34 неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство

где --- функция, удовлетворяющая условию

3535()

где --- число.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть существует решение , которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число такое, что принимает разных знаков и при .

Ввиду непрерывности решения как функции от оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений , по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).

Допустим, что при . Так как --- решение уравнения 34, то в промежутке . Допустим, что не меняет знак. Тогда

3636()

Проинтегрируем обе части 36 по отрезку , где получим

Произведем замену . Получим

Тогда

Таким образом получаем

Теперь пусть . Учтем, что с заменой и получаем

по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.

Рассмотрим общий случай, когда может менять знак. Тогда

Так как при , то с некоторого момента величина станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим

Проинтегрируем обе части от до , где --- значение, после которого становится положительным.

Сделаем замену , получим

Устремим и учтем 35

Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используют сейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений. Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второго метода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применил этот метод для получения сведений об ограниченности решений.

Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной , где --- положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство . После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида

3737()

что позволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости и ограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе Error: Reference source not found.

Если рассмотреть систему

3838()

то ее решение может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех .

В неравенстве 38 нас будут интересовать только его положительные решения. Сами неравенства могут быть двух типов:

а) неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;

б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под понимается некоторое множество, то через обозначается дополнение этого множества в пространстве.

Приведем без доказательства несколько утверждений Error: Reference source not found.

Теорема14

Предположим, что --- ограниченное множество пространство , содержащее начало координат, и что функция определена во всем множестве и при всех . Допустим далее, что при равномерно на каждом интервале изменения времени . Наконец, предположим, что , во всем и для . Если неравенство 37 не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение системы 38 неограниченно продолжаемо.

Для применения результатов такого рода часто полагают , то есть неравенство 37 записывается в виде

3939()

Лемма

15Если , то неравенство 39, при непрерывности для всех и положительности и непрерывности для , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения.

Лемма

16Если , , то неравенство 39 не имеет ни одного положительного неограниченного при решения.

Теорема17

Пусть и имеют тот же смысл, что и в теореме 14, при равномерно по и . Если неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при всех решения, то система 38 устойчива в смысле Лагранжа.

Замечание. 18Для автономной системы вместо используется функция .

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему вида

4040()

где определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а --- область -мерного пространства .

Определение. Будем говорить, что вектор-функция удовлетворяет на множестве локальному условию Липшица по , если для каждой точки найдется такая окрестность и постоянная Липшица , что для любой из двух точек и из этой окрестности выполняется неравенство

.

Введем обозначения.

Рассмотрим отношение

.

Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения

Этот предел будем называть производной функции в силу системы 40.

Теорема 19Error: Reference source not found

Пусть функция определена, непрерывна и локально липшицева относительно на произведении .

Тогда для продолжимости всех решений системы 40 на промежутке необходимо и достаточно, чтобы на множестве существовали две функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .

Замечание.20 Вместо условия 1) в теореме 19 может быть взято условие .

Следствие.21 Если и непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы 40 на необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова и , обладающие свойствами:

1) ;

2) при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Поскольку одна из целей данной дипломной работы --- показать на примере применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем, мы ставим перед собой задачу применить функции Ляпунова для решения вопроса продолжимости на всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка.

Рассмотрим уравнение

4141()

эквивалентное системе

4242()

Теорема

22Пусть функции , и удовлетворяют следующим условиям:

а) непрерывна при ,

б) функция ограничена для достаточно больших , то есть для больших ;

в) функция непрерывна и имеет непрерывную производную по и, кроме того, удовлетворяет условиям:

1) для достаточно больших и ,

2) для достаточно больших и ;

тогда все решения системы 42 неограниченно продолжаемы.

Доказательство

Рассмотрим функцию

Ее производную в силу системы 42 для достаточно больших , и легко оценить:

Характеристики

Список файлов ВКР