Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть в существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция такая, что функция удовлетворяет неравенству

99()

Тогда тривиальное решение системы 1 устойчиво.

Теорема Вторая теорема Ляпунова 4

Пусть дополнительно к условиям первой теоремы для выполняется неравенство , где --- положительно определенная в функция.

Тогда тривиальное решение системы 1 асимптотически устойчиво.

Теорема Третья теорема Ляпунова 5

Пусть в существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция такая, что

а) и -окрестность точки , в которой выполняется неравенство ;

б) из , справедливое при всех .

Тогда тривиальное решение системы неустойчиво.

Замечание.6 Недостаток изложенных методов заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций .

Замечание. 7Горбунов Error: Reference source not found показал, что для линейных систем с непрерывными коэффициентами функция Ляпунова всегда существует в виде квадратичной формы.

Замечание.8 Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия . Сама система имеет вид , а соответствующая функция .

В замечании 6 было обращено внимание на отсутствие общей методики построения функций Ляпунова для конкретных дифференциальных систем. Ниже приведены некоторые известные способы построения функций Ляпунова.

Методы построения функций Ляпунова

Энергетический метод

Применяется для системы второго порядка.

Рассмотрим систему

1010()

где , , непрерывны, --- положительные постоянные и , при , при , при , где , , .

В качестве механической модели можно взять движение системы материальных точек с массой , в которой точка подвергается действию сил , выражающие влияние других точек этой системы на точку .

Тогда можно дать механическую интерпретацию. Функцию составим как полную энергию системы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим

Очевидно, что эта функция определенно положительная.

Найдем производную функции в силу системы 10, получим

1111()

Так как члены определяют силы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергия системы убывает, а значит, соображений производная 11 знакоотрицательная.

Метод Малкина

Рассмотрим уравнение

1212()

Это уравнение эквивалентно системе

1313()

Соответствующая линейная система имеет вид

1414()

Для нее может быть построена функция Ляпунова

причем .

Замечаем теперь, что не содержит в своей записи параметра , поэтому эта же функция пригодна для исследования системы

но непригодна для системы 13.

Чтобы получить функцию Ляпунова для системы 13, необходимо найти аналог члена в записи . Но с точки зрения механики величина (или характеризует восстанавливающую силу, а величина соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы 13 функцию

1515()

Очевидно, получим в силу системы 13

Условия устойчивости в целом запишутся следующим образом:

а) при ,

б) ,

в) при .

Легко проверить, что множество , то есть прямая не содержит целых траекторий, кроме начала координат.

Укажем другой подход к задаче. Производя в уравнении 13 замену переменной получим систему

1616()

Используя снова прежнюю функцию Ляпунова 15, получим в силу системы 16

Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием

Метод деления переменных

Рассмотрим систему

1717()

где при --- постоянные, могут быть функциями координат, параметров и времени.

Определенно положительная функция

имеет производную в силу системы 17 в следующем виде:

где

Таким образом, будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.

В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя

1818()

Здесь , --- постоянные, --- возмущение рабочего угла, --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

В данном случае получаем

а в качестве матрицы берем единичную матрицу. Таким образом, получим

Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе и матрицы .

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

1919()

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

2020()

удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы 19

Таким образом, получим и .

В качестве примера рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Функцию Ляпунова выбираем в виде

Легко видеть, что

Очевидно, следует принять и , тогда будем иметь

и условие устойчивости в целом принимает вид при любых .

Метод Уокера-Кларка

Рассмотрим уравнение

2121()

эквивалентное системе

2222()

Функцию Ляпунова для системы 22 предлагается брать в виде

2323()

где специально подбирается с целью упрощения вида и с целью выполнения неравенства .

Так, например, для системы

2424()

функцию будем искать в виде

Имеем в силу системы 24

где

Очевидно, проще всего положить , , , откуда

и получаем функцию

2525()

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

2626()

эквивалентное системе

2727()

Согласно предложенному способу следует принять

Имеем тогда

Если положить , то условия устойчивости будут иметь вид

и .

Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции

.

Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо ,

В данном случае получим

и условия устойчивости в целом принимают вид

а) при ,

б) при ,

в) при .

Градиентный метод

Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме

где

Функции подбираются из условия отрицательности и из требования, чтобы векторное поле было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент сама функция определяется как криволинейный интеграл

2828()

В качестве примера рассмотрим уравнение

2929()

где . Это уравнение эквивалентно системе

3030()

Будем искать вектор-градиент в форме

В силу системы 30 получим

Удобно положить , , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула 28 дает нам

или, что то же самое,

Так как , то условия устойчивости имеют вид и

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Пусть

3131()

--- решение системы уравнений 31, определенное на некотором интервале , и

3232()

--- решение той же системы уравнений 31, определенное на некотором интервале . Будем говорить, что решение является продолжением решения 31, если . Решение 31 будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Покажем, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого. В этом смысле непродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений.

Пусть

3333()

--- векторная запись нормальной системы уравнений 31. Тогда справедлива следующая теорема Error: Reference source not found:

Теорема9 1. Существует непродалжаемое решение уравнения 33 с произвольными начальными значениями из .

2. Если некоторое непродолжаемое решение уравнения 33 совпадает с некоторым другим решением уравнения 33, хотя бы при одном значении , то оно является продолжением этого решения.

3. Если два непродолжаемых решения уравнения 33 совпадают между собой хотя бы для одного значения , то они полностью совпадают, т.е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.

Пусть --- решение системы 33 с начальным условием . Ясно, что:

а) либо это решение может быть продолжено для всех значений , и тогда будем говорить, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо [в право];

Характеристики

Список файлов ВКР