85930 (589902)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Ворожцов Вячеслав Андреевич _____

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16

Введение

Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец».

1.1. Определение полукольца. Примеры.

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

• Ассоциативность: ;

• Коммутативность: ;

• Существование нейтрального элемента: .

1. (S,·) – полугруппа:

• Ассоциативность: ;

1. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

• левая дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;

• правая дистрибутивность: (а+в)с=ас+вс.

1. Мультипликативное свойство 0:

• .

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):

Примеры полуколец:

1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

2. - тривиальное полукольцо;

3. Двухэлементные полукольца:<Z₂ ,+,·>, (в В 1+1=1);

4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;

5. Множества N, Z, Q⁺, Q, R⁺, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.

1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение положив,

.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение на множестве L является отношением порядка.

Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

, ;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых , ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, b I, s S элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} – нулевой идеал;

2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце : ;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .

Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».

2.1. Определение, примеры и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е. .

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. полукольца непрерывных R⁺ - значных функций;

3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

1 2. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

2 1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к. . Получили y=1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и – обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S – дистрибутивная решетка.

Доказательство.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР