183869 (584842), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Задача №1.

Предприятие выпускает два вида продукции: А и В. При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсы составляют соответственно:

R1: a1, a2

R2: b1,b2

R3: c1, c2

Рыночная цена продукции А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо принять решение относительно плана выпуска продукции обеспечивающего максимальный доход. Оценить устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию. Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3

Обозначим - количество продукции А, - Количество продукции В.

Найти Х=( , ), удовлетворяющие системе

3х₁+5х₂ ≤ 30 -количество ресурса

2х₁+х₂ ≤ 20 -количество ресурса

4х₁+6х₂ ≤ 48 - количество ресурса

и условию

при котором функция дохода принимает максимальное значение.

V = P1 + P2 = 3 + 2 → max

Формулировка задачи.

Графический метод.

Построим ОДЗ и

Неравенства , задают первый квадрант координатной плоскости.

Неравенство 3x1+5x2£30 задает полуплоскость, расположенную под прямой 3x₁+5x₂=30, включая эту прямую.

Неравенство 2x₁+x₂£20 задает полуплоскость, расположенную под прямой 2x₁+x₂=20, включая эту прямую.

Неравенство 4x₁+6x₂£48 задает полуплоскость, расположенную под прямой 4x₁+6x₂=48, включая эту прямую.

Таким образом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем неравенствам, Область ОАВС.

Построим вектор N{3;2}. Его проекция на ось равна 3, на ось 2.

Поскольку необходимо найти максимум функции V, будем перемещать прямую l, перпендикулярно вектору H, от начала к концу вектора H, т.е. в направлении возрастания функции V. Перейдя в точку В, прямая l окажется на выходе из многоугольной области ОАВС. Точка В – (крайняя) последняя точка области при движении в направлении вектора H, поэтому значение функции V в этой точке будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точках области.

Поскольку точка В – точка пересечения первой и второй прямой, то ее координаты можно найти, решая систему уравнений:

ì 3x1 +5x2 = 30

í

î 2 + = 20

Выразим из второго уравнения :

x₂ = 20-2x₁

И подставим в первое уравнение

3x₁+5(20-2x₁) = 30

Откуда x₁ = 10

Подставив в выражение для , получим x2 = 0

Таким образом оптимальное решение – точка В (10,0)

Оценим устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию.

Функция V=3x₁+2x₂ достигает максимального значения в угловой точке В. При изменения коэффициентов целевой функции точка В останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона прямой l будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка В. Этими прямыми являются (ограничение на ресурс R1) и (ограничение на ресурс R2).

Алгебраически записывается:

3/5£ P2/P1 £ 2/1

0,6 £ P2/P1 £ 2

Таким образом найденное решение будет оптимальным, пока отношение цены продукции А к цене продукции В будет находиться в диапазоне от 0,6 до 2.

Задача 2 (Многокритериальная задача)

Используя условие задачи 1, найти план работы при котором достигается:

А) Максимум дохода

Б) Минимум затрат ресурсов (в натуральном выражении)

В) Максимум выпуска продукции А в натуральном выражении

Задача решается методом уступок Величина уступок выбирается студентом.

Решение

Как было показано в задаче 1, максимум выручки V = P1 + P2 = 3 + 2 → max достигается в точке В (15, 75).

Минимум затрат ресурсов определяется минимумом целевой функции:

R= (3+4+2)x₁ + (5+1+6)x₂ = 9x₁+12x₂ → min

Поскольку ограничения на минимальный объем продукции не заданы, то минимум затрат ресурсов будет достигаться при полном прекращении выпуска продукции, т.е. когда и . Это же видно из рассмотрения области ОАВС на рис. 1. Соответственно минимум функции затрат ресурсов R=0.

В оптимальной по критерию максимума выручки точке В (10,0) целевая функция принимает значение:

V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30

Примем величину уступки 90%

90%V=30*0,9 =27

То есть

V= 3x1+2x2 =27

Нанесем прямую 3x1+2x2 =27 на график (рис. 2)

Для поиска минимума функции R=9x1+12x2 построим вектор М{9;12}. Его проекция на ось равна 9, на ось 12.

Поскольку необходимо найти минимум функции R, будем перемещать прямую m, перпендикулярно вектору М, от конца к началу вектора М, т.е. в направлении уменьшения функции R. Перейдя в точку К, прямая m окажется на выходе из области КВР. Точка К – крайняя точка прямой 3x1+2x2 =27 в области ОАВС при движении в направлении к началу вектора М, поэтому значение функции R в этой точке будет наименьшим по сравнению с ее значениями в других точках области.

Решив систему уравнений:

ì 3x1 +5x2 = 30

í

î 3 +2 = 27

Найдем x₁ = 8 1/3

x₂ = 1

Таким образом решение многокритериальной задачи при уступке по максимуму выручки 90% - точка К(8 1/3; 1).

Задача 3 (Принятие решений в условиях неопределенности)

Магазин лродает скоропортящуюся продукцию по А рублей за ящик, закупая ее у поставщиков по В рублей за ящик. Непроданная в течение дня продукция реализуется в конце дня по С рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 10 ящиков. Других сведений о спросе нет. Сколько ящиков продукции должен закупать у оптовиков магазин ежедневно в соответствии с принципами максимакса, максимина и минимакса.

Вариант

Решение

Матрица прибыли (платежная матрица)

Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.

Таким образом, по критерию Maximax оптимально продавать 30 ящиков.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)