177781 (583418), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решаем ее:

х₁ = 368-S, х₂ = (2S-368)/4.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* = 165 (368-S)+ 456 (2S-368)/4= 63S+ 18768;

u₁ = 25; u₂= 0; u₃ = 0.

Координаты точки Р

х₁ = 0, х₂ =92.

Z*(S) = 165х₁^* + 456х₂^* = 41952

u₁ = 0; u₂= 0; u₃ = 0.

S(D)= х₁ + 4х₂ =178,3+40=178,3,

S(C)= х₁ + 4х₂ =150+417=218

S(Р)= х₁ + 4х₂ =0+492=368

S	0S<178,3	178,3S<218	218S<368	S368
u1*(S)	165	77,6	63	0
Z*(S)	165S	77,6S+ 15591,4	63S+ 18768	41952

Интервал устойчивости [218;368)

2. Задача 2

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на			Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	3	2070
Оборудование (ст.час.)	3	5	2250
Трудоресурсы(чел.час.)	2	3	?
Цена реализации (руб.)	638	660

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 30 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции. Для построения модели введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья: 3x₁ + 3x₂ 2070;

Ограничения по использованию оборудования: 3x₁ + 5x₂ 2250;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂: S = 2x₁ + 3x₂ .

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е. V=tS = t(2x₁ + 3x₂). Выручка от реализации произведенной продукции: Z = 638x₁ + 660x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (638x₁ + 660x₂)– 1,1 t(2x₁ + 3x₂) = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

3x₁ + 3x₂ 2070

3x₁ + 5x₂ 2250 (1)

х₁0, х₂0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 2tx₁^* + 3tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2 Определение оптимальной программы выпуска продукции. При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

3x₁ + 3x₂ 2070

3x₁ + 5x₂ 2250

х₁0, х₂0, Р = 616 х₁ + 627х₂ → max.

Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка В с координатами х₁* = 600, х₂*= 90. Максимальный размер прибыли: Р* = 616600 + 627 90= 426030 (руб.). Размер необходимого кредита: V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 210600 + 31090 =14700 руб. Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1 14700= 1470руб. Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* +3 x₂^* = 2600 + 390 = 1470(чел.-час.).

2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы. Потребность в трудовых ресурсах S для обеспечения оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением: S* = 2x₁^* + 3x₂^*.

Но оптимальный план выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина S также зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции Р = (638 – 2,2t)х₁ + (660 – 3,3 t)х₂= h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением Р = 638 х₁ + 660 х₂ = h.

Если "закрепить" линию уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вверх по оси Ох₂.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: , t =20

Следовательно, точка В (600;90) остается точкой максимума пока t[0;20).

Найдем максимальный размер прибыли для t[0;20):

Р* = (638 – 2,2t) 600 + (660 – 3,3 t)90 = 442200- 1617t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 2t600 +3t90 = 1470t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1 1470t = 147t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* + 3x₂^* = 2600 +390 =1470 (чел.-час.).

Если t=20, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(600;90) и C(690;0).

Если "закрепить" линию уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к оси Ох₁.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна оси Ох₁. Из равенства угловых коэффициентов получаем: ; t = 220 > 60.

Если t[20; 30] точкой максимума станет точка С(690;0).

Найдем максимальный размер прибыли для t[20;30]:

Р* = (638 – 2,2t) 690 + (660 – 3,3 t)0 = 440220 – 1518t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx₁^* + 3x₂* = 2t690 +3t0=1380t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 138tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x₁^* + 3x₂^* = 2690 +30 = 1380(чел.-час.). Итоги решения задачи представим в таблице:

Почасовая оплата труда t (руб.)	Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)	Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.)	Размер необходимого кредита V*(t), (руб.)	Величина максимальной прибыли Р*(t) (руб.)
t = 10	(600;90)	1470	14700	426030
t(10;20)	(600;90)	1470	1470t	442200- 1617t
t = 20	Отрезок ВС	[1380; 1470]	[27600;29400]	409860
t(20;30]	(690;0)	1380	1380t	440220 – 1518t

3. Задача 3

Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

где Y — объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 441; б) L =63.

1. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y₁=656, Y₂ =984, Y₃=1312.

2. Известны объем выпуска продукции Y=984 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

3. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решаем задачу для следующих значений параметров:

А	α	β	К	L	Y1	Y2	Y3	Lбаз	Yбаз	pK	pL	С
4	0,7	0,3	441	63	656	984	1312	63	984	30	90	21000

1) Производственная функция (ПФ) — функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

где Y — объем выпуска продукции (ед.).

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

а) По условию K =441. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*

График функции представлен на рис.

б) По условию L = 63. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*

График функции представлен на рис.

2) Изокванта — совокупность всех комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K, L) в виде ее линий уровня.

По условию Y₁ =656;Y₂ =984; Y₃ =1312.

Выпишем соответствующие этим значениям уравнения изоквант:

=656;

=984;

=1312.

Для построения на декартовой плоскости OKL изоквант из их уравнений в явном виде выразим переменную L как функцию от переменной K:

или .

Итак, уравнения трех изоквант запишем в следующем виде:

, отсюда ;

, отсюда ;

, отсюда .

Графики изоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различные комбинации (K₁, L₁) и (K₂, L₂) используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y₃, расположенная выше изоквант Y₂ и Y₁, соответствует большему объему выпуска продукции (Y₃ > Y₂ > Y₁).

3) Известны объем выпуска продукции Y_баз = 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы L_баз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит Y = 1.1Y_баз = 1.1984 = 1082,4 (ед.).

Существует множество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты , имеем: .

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне L_баз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит (тыс. ст.-час.).

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла (тыс. ст.-час.).

Потребность в ресурсах в плановом периоде

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L = 1.05L_баз= 1.0563 = 66,15 (тыс. чел.-час.),то потребность в оборудовании в плановом периоде составит (тыс. ст.-час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , определяемую соотношением .

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам p_K = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и p_L = 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С = p_KК + p_LL = 30К + 90L.

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

К + 90L ≤ 21000, (1)

К ≥ 0, L ≥ 0 (2)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

→ max. (3)

Так как Y — нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.

Графическое решение задачи производителя

Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением 30K + 90L = 21000

Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y₂ > Y₁). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (p_K, p_L) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

.(4)

Поскольку отсюда имеем, что

Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем: 90L + 30*7L = 21000.

Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна L^* = 70.

Оптимальный объем оборудования равен K^* = 7*L = 7*70 = 490, а соответствующий объем выпуска Y^* = 4*490^0.7∙70^0.3 ≈ 1093,3.

Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой в точке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е. .

Предельная эффективность финансовых ресурсов

= = (4*0.7∙350^-0.3∙50^0.7)/30 ≈ 0.816,

что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0.816 ед.

Итак, получены следующие результаты.

1. Фирма должна взять в аренду K^* = 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L^* = 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y^* = 1093,3 ед.

2. Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTS_KL = 0,333.

3. Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0.816.

4. Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:

Имя работы	А	В	С	D	E	F	G	H	Q	V
Опирается на работу	E	G,Q		C,F,H	V	E		G,Q	V
Нормальный срок	16	24	32	8	16	8	19	16	14	8
Ускоренный срок	10	15	20	5	10	5	10	10	5	5
Норм.стоим.(млн.руб.)	33	84	78	31	35	19	71	74	38,5	40
Плата за ускор.(млн.руб.)	19,8	50,4	46,8	18,6	21	11,4	63,9	44,4	69,3	24

Требуется:

1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение

Упорядоченный сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.

Обозначим

Т^кр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Т^р_i – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить.

Рассчитаем Т^р_i для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е. Т^р₁ = 0. Далее последовательно находим Т^р₂,…, Т^р₆

дн

дн;

дн;

дн;

дн;

Стоимость S = 33+84+78+31+35+19+71+74+38,5+40=503,8

Критический срок Ткр = 46 дней.

Критический пути (V,Q,В), (V,Q,H,D).

Сокращение сроков строительства торгового павильона

Имя работы	А	В	С	D	E	F	G	H	Q	V
Нормальный срок	16	24	32	8	16	8	19	16	14	8
Ускоренный срок	10	15	20	5	10	5	10	10	5	5
Норм. стоим.(млн.руб.)	33	84	78	31	35	19	71	74	38,5	40
Плата за ускор.(млн.руб.)	19,8	50,4	46,8	18,6	21	11,4	63,9	44,4	69,3	24
Максим. сокращение времени выполнения (дн.)	6	9	12	3	6	3	9	6	9	3
Удельная цена	3,3	5,6	3,9	6,2	3,5	3,8	7,1	7,4	7,7	8

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)