86010 (574974)

Файл №574974 86010 (Высшая математика. Матрица)86010 (574974)2016-07-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если

А = 1 0 ,C= 3 4 4 , B= -3 1 4 .

2 -2 1 -3 5 2 -3 4

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

Р азмеры матриц А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В.

а*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4

2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4-2*(-3) 2*4-2*5 4 14 -2

А *В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4

2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1-2*(-3) 2*4-2*4 -10 8 0


D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4-1 4-4 = 6 3 0

4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14-8 -2-0 14 6 -2

Ответ :14 , 6 , -2.

2 (3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Решение:

2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1 =

0 3 2 2

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой , результат запишем

в четвёртую строку:

2 2 1 0

1 1 1 0

= 1 2 2 1 =

-2 -1 -2 0

Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца :

3+4 2 2 1

= 1*(-1) * 1 1 1 =

-2 -1 -2

Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результат запишем в первую строку . Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей , результат запишем в третью строку .

0 0 -1

= - 1 1 1 = - (-1) 1+3 * (-1) * 1 1 = 1-0 =1;

0 1 0 0 1

Ответ: D = 1.

3 (598.Р7).Решите матричное уравнение

1 2 1 1 1 -1

X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3

-5 -4 -1 0 -1 -2 .

Решение:

A*X=B , X=A-1 *B

Н айдём det A:

1 2 1

det A= 4 3 -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=

-5 -4 -1

=-19+20+15-8+8=16 ;

det= 16 ≠ 0;

С оставим матрицу А -1 , обратную матрицы А:

А1 1 = 3 -2 = -3 –8 = -11

-4 -1

А12 = - 4 -2 = -(-4-10) = 14

-5 -1

А13 = 4 3 = -16+15 = -1

-5 -4

A21 = - 2 1 = -(-2+4) = -2

-4 -1

A22 = 1 1 = -1+5 = 4

-5 -1

A23 = - 1 2 = - (-4+10) = -6

-5 -4

A31 = 2 1 = - 4-3 = -7

3 -2

A32 = - 1 1 = - (-2-4) = 6

2

A33 = 1 2 = 3 –8 = -5

4 3

-11/16 -2/16 -7/16

А-1 = 14/16 4/16 6/16

-1/16 -6/16 -5/16


-11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16

Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =

-1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16


-11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)

= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =

-1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)

-9 -8 -9

= 10 16 10

5 -8 -27

Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .

4 (4П5).При каком значении параметра p , если он существует ,

1 2 -2 1

последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых

1 -1 1 2

8 -7 p 11

трёх строк?

Решение :

Вычислим det A:

1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0

det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =

1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0

8 -7 p 11 0 23 -16-p -3

- 1*(-1) 2+3 * -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p - 49

14 -7-p

Если det A=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ1 и λ2 , λ3 ,тогда (8,-7,7,11) = λ1(1,2,-2,1)+ + λ2 (2,-3,3,2) + λ3 (1,-1,1,2);

И меем систему : λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 * 2

1- 3λ2 - λ3 = -7

-2λ1 + 3λ2 + λ3 = 7

λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 11

Решим данную систему методом Гаусса :

λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 1) λ3 = 3

2 + 3λ3 = 23 2) 7λ2 + 9 = 23

2 + 3λ3 = 23 7λ2 = 14

λ3 = 3 λ2 = 2

3) λ1 + 2*2 + 3 =8

λ1 = 1

коэффициенты линейных комбинаций λ1 = 1 ; λ2 = 2 ; λ3 = 3 ;

Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1(1,1,1) , f2 (1,2,3) , f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1, f2 , f3 можно принять за новый базис в R3 . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе fi .

Составим определитель из компонент векторов и f1, f2 , f3 вычислим его :

1 1 1 1 1 1

= 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)1+1 * 1 2 = 5 – 4 = 1

1 3 6 0 2 5 2 5

Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f1, f2 , f3 образуют базис трёхмерного пространства R3

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

х1 + х2 + х3 = 4 *(-1)

х1 + 2х2 + 3х3 = 7

х1 + 3х2 + 6х3 = 10

х1 + х2 + х3 = 4

х2 + 2х3 = 3 *(-2)

2 + 5х3 = 6

х1 + х2 + х3 = 4 1) х3 = 0 3) х1 + 3 + 0 = 4

х2 + 2х3 = 3 2) х2 + 0 = 3 х1 = 4 - 3

х3 = 0 х2 = 0 х1 = 1

х1 = 1 , х2 = 0 , х3 = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f1, f2 , f3

x(1;3;0);

x = f1 + 3f2 + 0f3;

x = f1 + 3f2 .

Ответ : координаты вектора x (1;3;0).

6. Докажите , что система

1 + 2х2 + х3 = 8,

х1 + х2 + х3 = 3,

х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3,

2 + 2х3 +2х4 = 3

имеет единственное решение . (362).Неизвестное х2 найдите по формулам Крамера . (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса .

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

2 2 1 0

А = 1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

В ычислим определитель матрицы А

2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0

∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)3+4 * 1 1 1 = - 1 1 1 =

1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0

0 3 2 2 -2 -1 -2 0

= - (-1)2+3 * 1 1 = 1

0 1

∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х2 = ∆ х2 /∆

2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1

∆ х2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)3+4 * 1 3 1 = - 1 5 0 =

1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0

0 3 2 2 -2 -3 -2 0

= -(-1)1+3 * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3

0 8

х2 = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

1 + 2х2 + х3 = 8 *(-2) *(-1)

х1 + х2 + х3 = 3

х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3

2 + 2х3 +2х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 3

- х3 = 2

х2 + х3 + х4 = 0 *(-3)

2 + 2х3 +2х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 3

х2 + х3 + х4 = 0

- х3 - х4 = 3

х3 = -2

1) х3 = - 2 3) х2 - 2 - 1 = 0

2) 2 - х4 = 3 х2 = 3

х4 = -1 4) х1 + 3 - 2 = 3

х1 = 2

Проверка :

2 + 3 – 2 =3, 3 = 3

4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8

2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3

9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3.

Ответ : х1 = 2 , х2 = 3 , х3 = - 2 , х4 = -1.

7. Дана система линейных уравнений

1 + х2 - х3 - х4 = 2,

1 + х2 - 2х3 - х4 = 7,

х1 - х2 - х4 = -1,

х1 + х2 - х3 -3х4 = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х4 = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

С оставим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7

А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

х1 + х2 - х3 -3х4 = -2

1 + х2 - х3 - х4 = 2

1 + х2 - 2х3 - х4 = 7

х1 - х2 - х4 = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7

х1 + х2 - х3 -3х4 = -2

→ 2х2- 2х3 -8х4 = -8

- х3 -6х4 = -7.

1) х3 = 7 - 6х4

2) х2 - х3 -4х4 = -4

х2 = х3 + 4х4 - 4

х2 = 7 - 6х4 + 4х4 - 4

х2 = 3 - 2х4

3) х1 = - х2 + х3 + 3х4 - 2

х1 = - 3 + 2х4 + 7 - 6х4 + 3х4 – 2

х1 = 2 4 .

Получаем общее решение системы :

х1 = 2 4

х2 = 3 - 2х4

х3 = 7 - 6х4.

Найдём частное решение , если х4 = 1 тогда

х1 = 2 – 1 = 1;

х2 = 3 – 2*1 = 1;

х3 = 7 – 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) – частное решение .

8. Дана система линейных однородных уравнений

1 +3х2 - х3 - х4 + х5 = 0,

1 - 2х2 - 3х3 -3х5 = 0,

х1 - 3х2 + 2х3 -5х4 -2х5 = 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)

1 -3 2 -5 -2

→ 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х1 -3х2 + 2х3 - 5х4 -2х5 = 0

2 - 5х3 + 9х4 +5х5 = 0

-8х3 -72х4 +8х5 = 0

1) 8х3 = -72х4 + 8х5

х3 = - 9х4 + х5

2) 9х2 + 45х4 - 5х5 + 9х4 +5х5 = 0

2 + 36х4 = 0

х2= - 4х4

3) х1 +12х4 - 18х4 + 2 х5 - 5х4 -2х5 = 0

х1 - 11х4 = 0

х1 =11х4

Общее решение системы :

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
380,85 Kb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее