86010 (574974), страница 2

Файл №574974 86010 (Высшая математика. Матрица) 2 страница86010 (574974) страница 22016-07-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

х1 =11х4

х2= - 4х4

х3 = - 9х4 + х5

Найдём фундаментальную систему решений , положив х4 = 1 , х5 = 0.

х1 =11*1 = 11,

х2= - 4*1 = -4,

х3 = - 9*1 + 0 = -9.

Пусть х4 = 0, х5 = 1.

х1 =11*0 = 0,

х2= - 4*0 = 0,

х 3 = - 9*0 + 1 = 1.

Ответ : (11;-4;-9;1;0)

(0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p –2r , | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p –2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] |

[p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] .

S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinφ

S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите ПрBD[BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

i j k

[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

-2 -3 2

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

ПрBD а = ( BD , a ) /| BD |

( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .

ПрBD а = 0 .

Ответ : ПрBD а = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R3 → R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2 + x3 , 5х2 , 3х1 + 2х2 + х3 ), где х( х1, х2, х3 ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ0 , соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ0 . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х1 + 2х2 + x3 ; 5х2 ; 3х1 + 2х2 + х3 )

Найдём матрицу в базисе l1 , l2 , l3

A l1 = (-1 ; 2 ;1)

A l2 = (0 ; 5 ; 0)

A l3 = (3 ; 2 ; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

-1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1

Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0

3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .

Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .

Составляем характеристическое уравнение :

-1 – λ 2 1

0 5 – λ 0 = 0

3 2 1 – λ

(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0

5 – λ = 0 или λ2 –1 – 3 = 0

λ2 = 4

λ = ±2

λ1 = 2 , λ2 = -2 , λ3 = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.

х1 + 2х2 + х3 = 0 х2 = 0

2 = 0

1 + 2х2 + 3х3 = 0

х1 + х3 = 0 х1 = -х3

1 + 3х3 = 0

Пусть х3 = 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .

П роверка :

-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1

A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0

3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1

Следовательно , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.

Найдём собственный вектор для λ = 5

-1 + 2х2 + х3 = 0

1 + 2х2 - 4х3 = 0

-9х1 + 5х3 = 0

х1 = 5/9 х3

-6*(5/9 х3) + 2х2 + х3 = 0

-10/3 х3 + х3 + 2х2 = 0

2 = 7/3 х3

х2 = 7/6 х3 .

Пусть х3 = 18 , тогда х1 = 10 , х2 = 21 .

Вектор х2 = (10 ;21 ;18) собственный вектор .

П роверка

-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10

A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21

3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .

Следовательно , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

Ответ : матрица в каноническом базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x –5

y = -2/3 x – 5/3

κ = -2/3

Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х0,y0) записывается в виде

y – y0 = κ(x – x0).

Имеем

y – 4 = -2/3 (x – 1)

3y – 12 = -2x + 2

2х + 3y - 14 = 0.

Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 – уравнение искомой прямой .

13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0.

Решение :

Пусть N – проекция точки М на данную прямую .

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ1 = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ2 = 2 .

Тогда уравнение MN имеет вид y – y0 = 2(x – x0) .

Для определения координат точки N решим систему уравнений

х + 2y – 10 = 0

y – y0 = 2(x – x0) , x0 = 3 , y0 = 6 .

х + 2y – 10 = 0 2х + 4y – 20 = 0

y – 6 = 2(x – 3) -2х + y = 0

4y = 20

y = 4

2х = y

х = ½ y

х = ½ * 4 = 2

х = 2 .

y

x+2y-10=0

6 M

4 N

1 0

2 3 10 x






Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4).

14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки M1(-6,1,-5) , M2(7,-2,-1) , M3(10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид

x-x1 y-y1 z-z1

x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x-6 y-1 z+5

7+6 -2-1 -1+5 = 0

10+6 -7-1 1-5

x-6 y-1 z+5

13 -3 4 = 0

16 -8 -4

( x –6)* -3 4 - (y – 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x –6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+

-8 -4 16 -4 16 -8

+ (z + 5)*(-104+48) = 0

(x –6)*44 - (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0

11*(x –6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0

11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0

11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .

8.5. Постройте данную гиперболу .

Решение :

Выделим полные квадраты

4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4

((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1

Положим x1 = x – 3 , y1 = y – 2 , тогда x12/1 – y12/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой .

Определим её центр

x1 = x – 3 = 0 , x = 3

y1 = y – 2 = 0 , y = 2

(3 ; 2) - центр .

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот гиперболы

y1 = ± b/a x1

(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)

y –2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8)

2x – y – 4 = 0 2x + 2y – 8 = 0

x + y – 4 = 0 .

Определим фокусы гиперболы

F1(-c ; 0) , F2(c ; 0)

c2 = a2 + b2 ; c2 = 1 + 4 = 5

c = ±√5

F1(-√5; 0) , F2(√5 ; 0).

F1′(3 - √5; 2) , F2′ (3 + √5; 2).

Уравнение F1′ F2′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2

y

2 * *

0 x

-1 1

-2






Ответ: (3 ; 2) , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 .

16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .

16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .

16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .

16.5.Постройте данную параболу .

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0

(y + 3)2 = - 6(x + 1) .

Положим y1 = y + 3 , x1 = x + 1 .

Получим

y12 = ±6x1 .

Это уравнение параболы вида y2 = 2px , где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой .

Так как p<0 , то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0

y = -3 x = -1

(-1 ; -3) – вершина параболы .

Уравнение оси симметрии y = -3.

y

-7 -3 -1 1

0 x

-3

-9




Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .

26



Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
380,85 Kb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее