Третий параграф заметки - Построение периодических решений (564400)
Текст из файла
1Уравнение ДюффингаРассмотрим уравнение Дюффингаẍ + ω 2 x − βx3 = 0(1)Это уравнение удовлетворяет условиям теоремы о голоморфном интеграле, и поэтому имеет вокрестности особой точки x = ẋ = 0 семейство замкнутых траекторий. Каждая траектория задаетсяначальными условиямиx(0) = C, ẋ(0) = 0(2)Решение задачи Коши (1)–(2) есть периодическая функция x(t, C), период которой зависит от C.Поэтому в прямом разложении x = x1 (t)C + x2 (t)C 2 + . . . образуются секулярные члены. Для ихликвидации введем новое время()τ = ω 1 + h1 C + h2 C 2 + . . . tи, обозначив производную по τ через штрих, перепишем уравнение (1) как()2ω 2 1 + h1 C + h2 C 2 + . .
. x′′ + ω 2 x − βx3 = 0(3)Вид начальных условий при этом сохраняется. Разделим уравнение (3) на ω 2 и введем новыйпараметр b = ωβ2 . Решение задачи (3)–(2) будем искать в виде x = x1 (τ )C + x2 (τ )C 2 + x3 (τ )C 3 + . . .,причем xk (τ ) – 2π-периодические (или постоянные) функции. Определим прежде всего начальныеусловия для xk . Имеемx1 (0)C + x2 (0)C 2 + x3 (0)C 3 + . . . = Cx′1 (0)C + x′2 (0)C 2 + x′3 (0)C 3 + . . .
= 0,откуда следует, что x1 (0) = 1, x′1 (0) = 0, xk (0) = 0, x′k (0) = 0, k > 2. Теперь подставим разложениеx(τ, C) в уравнение (3)()x′′1 C + x′′2 C 2 + x′′3 C 3 + . . . +()3x1 C + x2 C 2 + x3 C 3 + . . . − b x1 C + x2 C 2 + x3 C 3 + . . . = 01 + h1 C + h2 C 2 + . . .)2 (Разделим уравнение (4) на C, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим)(x′′1 + x1 + C (x′′2 + x2 + 2h1 x′′1 ) + C 2 x′′3 + x3 + 2h2 x′′1 − bx31 + .
. . = 0(4)(5)Приравнивая коэффициенты при C в левой части уравнения (5) к нулю, учитывая начальныеусловия для xk , построим последовательность задач Коши. Заметим, что величины h1 , h2 нампока неизвестны – они определяются далее.1. Задача для определения x1 имеет видx′′1 + x1 = 0, x1 (0) = 1, x′1 (0) = 0Ее решение – периодическая функция x1 (τ ) = cos τ .2. Задача для определения x2 имеет видx′′2 + x2 = 2h1 cos τ, x2 (0) = 0, x′2 (0) = 0(6)Если h1 ̸= 0, то задача (6) не имеет периодического решение из-за наличия в правой части уравнениярезонасного члена 2h1 cos τ .
Положим h1 = 0, тогда x2 (τ ) = 0.3. Коэффициент x3 определяется из следующей задачиx′′3 + x3 = 2h2 cos τ + b cos3 τ, x3 (0) = 0, x′3 (0) = 01(7)Уравнение (6) можно еще переписать как()3bbx′′3 + x3 = 2h2 +cos τ + cos 3τ44Последнее уравнения имеет периодические решения в том и только в том случае, если 2h2 +или h2 = − 3b8 . Решение задачи (7)x3 (τ ) =3b4=0bbcos τ −cos 3τ3232Итак, мы построили разложение решения задачи (3)–(2):x = C cos τ + C 3b(cos τ − cos 3τ ) + . . .32и удержали два ненулевых члена.
Вернемся к переменным и параметрам задачи (1)–(2):x = C cos Ωt + C 33β 2β(cos Ωt − cos 3Ωt) + . . . , Ω = ω −C + ...232ω8ω(8)Рис. 1: Сравнительные фазовые кривыеПостроим в фазовой плоскости сравнительные фазовые кривые, положив ω = 1, β = 2.На рис 1 кривая, выделенная синим цветом, соответствует найденному аналитическому решению (8), а кривая, выделенная красным – точному решению задачи (1)–(2), полученному с помощьюэллиптических функций Якоби.
Мы взяли значение константы C = 0.8, а при меньших по модулюзначениях C кривые практически сливаются.22Уравнение Ван-дер-ПоляПостроим периодическое решение уравнения Ван-дер-Поля()ẍ + x = ε 1 − x2 ẋ(9)Это периодическое решение определяется начальными условиями, одно из которых можно сделатьнулевым. Период решения зависит от ε, поэтому сделаем замену()τ = 1 + h1 ε + h2 ε2 + . . . tУравнение (9) преобразуется к виду()()2()1 + h1 ε + h2 ε2 + . . . x′′ + x = ε 1 − x2 1 + h1 ε + h2 ε2 + .
. . x′(10)Начальные условия для искомого периодического решения имеет видx(0) = A(ε), x′ (0) = 0(11)где A(ε) = A0 + A1 ε + A2 ε2 + . . .. Определим коэффициенты hk и Ak , при которых существует2π-периодическое решение задачи (10)–(11).Разложим это решение в ряд по степеням ε: x = x0 (τ ) + εx1 (τ ) + ε2 x2 (τ ) + . . ., xk (τ ) ≡ xk (τ + 2π).Начальные условия для xk имееют видxk (0) = Ak , x′k (0) = 0Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в (10). Получим(())x′′0 + x0 + ε x′′1 + x1 − 1 − x20 x′0 + 2h1 x′′0 +(()() )ε2 x′′2 + x2 − 1 − x20 x′1 + 2x0 x1 x′0 + 2h2 x′′0 + h21 x′′0 + 2h1 x′′1 − h1 1 − x20 x′0 + .
. . = 0(12)Отметим еще, что уравнение (9) имеет особую точку x = 0, ẋ = 0 (это понадобится для дальнейшихвыкладок).Построим последовательность задач Коши, приравнивая коэффициенты при ε в левойчасти уравнения (12) к нулю и учитывая начальные условия для xk .0. Коэффициент x0 находим, решая задачуx′′0 + x0 = 0, x(0) = A0 , x′ (0) = 0Ее решение – x0 (τ ) = A0 cos τ . Коэффициент A0 мы не можем пока определить.1. Задача для определения x1 (τ ) имеет вид()A20A3′′x1 + x1 = A0 1 −sin τ + 0 sin 3τ + 2A0 h1 cos τ, x1 (0) = A1 , x′1 (0) = 044(13)Периодическое решение существует, если в правой части уравнения (13) отсутствуют резонасныечлены.
Это происходит, когда()2 A 1 − A0 = 004(14) 2A h = 00 1Решение A0 = 0 данной системы соответствует точке покоя x = ẋ = 0 уравнения (10), поэтомуинтереса для нас не представляет. Из двух оставшихся решений A0 = 2, A0 = −2 выбираем первое,т.к. другое решение A = −2 отвечает той же траектории уравнения (10). Коэффициент h1 при этомравен 0, а решение задачи (14)x1 (τ ) = A1 cos τ +331sin τ − sin 3τ442.
Задача для определения x2 (τ ) имеет вид)(135x′′2 + x2 =+ 4h2 cos τ + 2A1 sin τ − cos 3τ + 3A1 sin 3τ + cos 5τ, x2 (0) = A2 , x′2 (0) = 0 (15)4241Периодическое решение существует, если h2 = − 16и A1 = 0. Мы не будем определять это решение,1ограничившись разложением до ε включительно.Искомое периодическое решение задачи (10)–(11) имеет вид)(13sin τ − sin 3τ + . . .x = 2 cos τ + ε44Возвращаясь к старому времени t, получим периодическое решение уравнения (9), разложенноедо членов второго порядка()31x = 2 cos t + εsin t − sin 3t + . .
.(16)44()ε2Период этого решения T = 2π 1 + 16+ ... .Построим в фазовой плоскости замкнутую траекторию, соответствующую аналитическому решению (16). Также с помощью численного интегрирования построим фазовые кривые с начальнымиусловиями близкими к кривой (16) (ε = 0.05). Результат изображен на рис 2.Рис. 2: Предельный циклМы видим, что построенная замкнутая траектория служит предельным циклом для траекторийуравнения (9).43Неавтономное уравнение ДюффингаРассмотрим неавтономное уравнениеẍ + x − εbx3 = εa cos t(17)Теорема Пуанкаре о существовании периодического решения в невырожденном случае здесь неработает, потому что якобиан det Ψ∗0 равен нулю на любом порождающем решении. Тем не менее,мы можем попытаться найти периодическое решение x(t, ε) в виде разложения в ряд по степенямε: x(t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + ε2 x2 (t) + .
. ., причем xk (t + 2π) ≡ xk (t). Пусть начальные условия дляпериодического решения имеют видxk (0) = A(ε), ẋk (0) = B(ε),причем A(ε) = A0 + A1 ε + . . ., B(ε) = B0 + B1 ε + . . . – аналитические функции. Если уравнение (17)имеет периодическое решение x(t, ε), стремящееся к решению порождающего уравнения ẍ + x = 0,то x(t, ε) аналитично в точке ε = 0 вместе с функциями A(ε) и B(ε).Подставим степенное разложение x0 + εx1 + ε2 x2 + . .
. в уравнение (17).()ẍ0 + εẍ1 + ε2 ẍ2 + x0 + εx1 + ε2 x2 − εb x0 + εx1 + ε2 x2 + . . . + . . . = εa cos t(18)Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в (18). Получим))((ẍ0 + x0 + ε ẍ1 + x1 − bx30 − a cos t + ε2 ẍ2 + x2 − 3bx20 x1 + . . . = 0Переходим к задачам Коши.0. Коэффициент x0 определяется как решение задачиẍ0 + x0 = 0, x0 (0) = A0 , ẋ0 (0) = B0Отсюда x0 = A0 cos t + B0 sin t. О значениях A0 , B0 пока ничего сказать нельзя.1. Задача для определения x1 выглядит следующим образом:3ẍ1 + x1 = b (A cos t + B sin t) + a cos t, x1 (0) = A1 , ẋ1 (0) = B1(19)Перепишем уравнение (19), перейдя к кратным углам()()3 3 33 23ẍ1 + x1 =bA0 + bA0 B02 + a cos t +bA0 B0 + B03 sin t+4444()()1 3 33 21+bA − bA0 B02 cos 3t +bA B0 − bB03 sin 3t4 0 44 04Условия существования периодического решения имеют вид33 bA30 + bA0 B02 + a = 0443 bA2 B0 + 3 bB 3 = 04 04 0( )1/3Эта система имеет единственное действительное решение A0 = − 4a, B0 = 0.
Задача (19)3bпринимает видaẍ1 + x1 = − cos 3t, x1 (0) = A1 , ẋ1 (0) = B13()aaРешение этой задачи – x1 (t) = A1 − 24 cos t + B1 sin t + 24cos 3t.52. Коэффициент x2 – решение задачи()()9 2133 21ẍ2 + x2 =bA0 A1 − abA20 cos t + bA20 B1 sin t +bA0 A1 + abA20 cos 3t+41644323 21+ bA0 B1 sin 3t + abA20 cos 5t, x2 (0) = A2 , ẋ2 (0) = B2432(20)Периодическое решение существует, если резонасные члены в правой части обращаются в ноль.Последнее имеет место, если91 bA20 A1 − abA20 = 0416 3 bA2 B1 = 04 0aЕдинственное решение этой системы – A1 = 36, B1 = 0. Определять x2 мы не будем.Итак, мы нашли первые два члена у предполагаемого периодического решения уравнения (17)(x=−4a3b)1/3( a)acos t + ε − cos t +cos 3t + .
. .7224(21)Пусть a = 3, b = −4, а ε = 0.05. На рис 3 показаны: проекция на плоскость (x, ẋ) периодическойтраектории (21), проекция траектории, полученной численным интегрированием уравнения (17)с начальными условиями x(0) = 1.2, ẋ(0) = 0. Можно высказать гипотезу об устойчивостипериодического решения (21) (при этом асимптотическая устойчивость места не имеет). Проверкаэтого предположения средствами только метода малого параметра невозможна.Рис.
3: Устойчивое периодическое решение6.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
