Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это объясняется не только простотой метода, но также и тем, что весьма часто наши знания процессов, происходящих в реальных системах, позволяют надежно определить только первые линейные члены, Однако, как было показано в $1.2 (см. пример на с. 20 — 21), уравнения первого приближения могут дать иногда совершенно неверное заключение об устойчивости движения. Поэтому естественно возникает вопрос об определении условий, при выполнении которых уравнения первого приближения дают правильный ответ об устойчивости движения.
В общем виде задача ставится следующим образом. Даны уравнения возмущенного движения х, = а„х, +... + а,„х„+ Х„ (4 1) т„ = а„,х, + ... + а„„х„ + Х„, где нелинейные члены Х„..., Х„содержат х„..., х„ в степени выпте первой (в этой главе вместо Х; будем писать просто Хе). Требуется определить условия, при которых заключение об устойчивости движения можно составить по уравнениям первого приближения а', = аых, +... + а>ехе, (4.2) х„ = а„,х, + ... + а„„х„ при любых полпнейных членах Х„..., Х„.
Вперзь>е эт» задача была поставлояа А. М. Ляпуновым. Ему же принадлежит ее полное рептение для автономных систем, когда все коэффициенты ае, — постоянные числа, а также для многих случаев неавтономных систем при аан зависящих от времени Ь 4 Д. Р. мер»аз 98 гл. 1у.
устойчивость по пеРвому ИРивлижению $ 4.2. Предварительные замечания В этом параграфе, не определяя вида общего решения уравнений первого приближении, ограничимся напоминанием метода построения характеристического уравнения и некоторыми другими предварительными замечаниями, которые понадобятся в дальнейшем. Для автономной системы (см.
с. 21) все коэффициенты а,з уравнений (4.2) — постоянные числа. Частное решение этих уравнений ищется в форме где А„..., Л„, Л вЂ” постоянные числа. Дифференцируя равенства (4.3) по времени, получим: х, =- А,Лех',..., х„-.=- А„ЛеЛ1. Внесем эти выражения для производных х„..., х„ и выражения для х„..., х„из равенств (4.3) в уравнения (4.2) и сократим их на не равный нулю общий мноиситель е1'.
Тогда, после группировки членов, будем иметь (а„— Л) А, + а„А, +... + а„,Л„=- О, а„А, + (а„— Л) А, +... + а„А„= О, (4.4) апаА1 + алэЛ1 + . + (а„„вЂ” Л) А„= О. Так как эта система линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных А„..., А„ должна иметь решение, отличное от нуля (в противном случае все хп. -= — О), то определитель этой системы должен равняться нулю: а — Л а11 а а (4.5) а ... а — Л аа ' ' ' ап п1 Полученное уравнение относительно Л называется характеристическим уравнением, а соответствующий определитель — хара теристическим определителем. Характеристическое уравнение содержит неизвестное число Л в степени и. Следовательно, оно имеет и корней Л„Ля ..., Л„.
Если среди корней характеристического уравнения нет равных (корни простые), то всегда существует такое а 2. ЙРкдзагнтготьиыг ЗАмвчанйя неособенное линейное преобразование п за=.,~~~ сс„;х; (Й=-1,..., и), з=г (4.6) (4.7) з„= Л„з„. Переменные з„..., з„называются каноническими переменными (общий случай преобразования линейных дифференциальных уравнений к канояическим переменным при наличии кратных корней характеристического уравнения рассматривается в гл. У). Ксли применить преобразование (4.6) к уравнениям возмущенного движения (4.1), то получим з,=-Л,з,+Я„ ', =- Л,, + г„ (4.6) '„= Л„,. + г„. В этих уравнениях Я„..., ӄ— нелинейные члены, соде жащие з„..., з„в степени, выше первой.
Р, аждому комплексному корню Л =- т + ~)г характеристического уравнения (4.5) отвечает сопряженный корень Л =- т — ~р (т и )г — вещественные постоянные числа); им соответствуют комплексно-сопряженные канонические переменные з = и + гп и Е = и — ш, где и и о— вещественные функции времени г. Вещественным корням Л характеристического уравнения (4.5) отвеча1от вещественные канонические переменные з. Так как коэффициенты аг, преобразования (4.6) постоянные числа, то из устойчивости (неустойчивости) невозмущениого движения относительно переменных ха следует устойчивость (неустойчивость) относительно канонических переменных зг и наоборот.
Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют внд уравнений (4.2) или в канонических переменных — уравнений (4.7). В сделаяных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе- где аг; — некоторые постоянные числа, которое приводит уравнения первого приближения (4.2) к виду з, == Л,г„ з =.
Лазы !00 ГЛ»ч УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛПНЕЕНИЮ ренциальные уравнения (4.7) неэависимы друг от друга. Опи интегрируются элементарно и их общее решение имеет вид 㻠— — гг1~ ' 1 (4.9) » ! гп = — зеив " ' где гп„..., ㄄— эначепия переменных г„..., г„при г =- О. Пусть Х» = У» + 19» — корень характеристического уравнения (если У» Ф 0 и (»» ~ О, то корень комплексный, при у» = 0 и р» ~ 0 корень чисто мнимый, при р» = 0 вещественный н при у» —— р» — — 0 нулевой).
Имеем х»! ~ ( (е»4и»цс ~ е~ м ~ си»с~ или, учитывая, что ( еж' / = 1 при любых р» и д ) е» / == е»'. (4.10) Иэ этого равенства следует, что при с — е сю ) ех(' ) -е О, если у» ( О, 1 е»л'! = 1, если у» =- О, (4.11) (е"~' ( -е оо', если у»,е О. Иэ общего решения (4.9) и предельных равенств (4.11) непосредственно вытека1от следующие теоремы об устойчивости движении линейной автономной системы, имшощей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. Ъ'): 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны (все У» ( 0), то невогмущенное движение аспмнтотпчески устойчиво (все 㻠— е -е 0 нри г -е ос); 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение неустойчиво (хопгя бы одно г» -е оо при г — е оо); 3. Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то невозмущениое движение устойчиво, но не асимптотически (все г» ограничены, и часть из них стремится к нулю)»).
В следующих параграфах этой главы рассматривается влияние нелинейных членов. ') Первые дпа выпада спрапедлипы и для пратпых корней хараптеристпчсскоеп уравнения. з 4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ф 4.3. Основные теоремы об устойчивости по первому приближению Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближен44л отрицательны, то невовмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.
Доказательство. Сформулированная теорема Ляпунова справедлива как для случая кратных, так и для случая простых корней характеристического уравнения (4.5). Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся рассмотрением случая простых корней (полное доказательство иожно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, И. Г. Четаева, И. Г. Малкина (см. (35, 449, 37))). Итак, будем считать, что все корни характеристического уравнения простые. Так как вариации х„..., х„связаны с каноническими переменными з„..., з„линейным преобразованием (4.6) при постоянных аз,, то достаточно доказать, что в условиях теоремы невозмущенное движение асимптотически устойчиво относительно переменных г! ' ' ~ гз" Пусть часть корней характеристического уравнения комплексно-сопряженные, а часть вещественные.' Для определенности будем считать, что имеются две пары комплексно-сопряженных корней, Занумеруем все корни следующим образом: комплексно-сопряженные корни Х4 = тз + 4(4„Хз = Х4 = тз — 4)4„ (4.12) )'з = тз + 414ь )"4 = )'з = тз 4)444 вещественные корин )"4~ йз ° ° ~ )"и Комплексно-сопряженным корням Х„Хз и Х„Х4 будут отвечать комплексно-сопряженные канонические переменные з„зз и гз, зз З4 = И4 + 4О4, Зз = 34 = И4 — Й44, Хз Из + 4из~ Х4 = гз = Из — гизи 102 ГП.
ВУ. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПРРВОМУ ПР14БЛИВКВийВО где и„и„о„ов — вещественные функции времени 1. Вещественным корням Л„ЛЗ,..., Л„отвечают вещественные канонические переменные г„гз,..., г„. Составим функцию Ляпунова в следующем виде '): 1 в в в — — (гвгв + гзгв + гв + 2 + ° ° + гя). (4.14) Отметим прежде всего, что функция Р является определенно-положительной вещественной функцией переменных и„и„ив, о„г„..., г„. Это следует из равенств гвг, ==- гвгв = (и + 1ов) (и, — 1ов) = ив + и,', 1 (4.15) гзгв = хзгз = (п2 + 1РЗ) (пв — во2) = ив + Рз. Вычислим производную Р функции У 1 (гвг2 + гвгв + 2224 + гзг4) + гвгв + ' ' + гп и' Внесем сюда значения гв из уравнений (4.8) 1 — — ((Лвгв + 22) гз + гв (Лвгв + 72) + ().222 1- 72) гв + + гз(Л4гв + л 4)) + гв (Л,гв + Хв) +... + 2„(Л„З„+ 7„) или, группируя члены, 1 ((Лв + ) 2) гвгв + (Лз+ Лв)гзг4) + -)- Лвгв +...
-)- Л„г'„-)- 2, где 2 — совокупность членов, содержащих г„..., г„в степени выше второй. Так как, согласно равенствам (4.12), Лч + Лв = 2тв Лз + Л4 2тв, то, учитывая выражения (4.15), получим Р = и, (ив + г1) + тв (ив + ив) + Лвг,' +... + Л„г'„+ 2. (4.16) 2) Если все корни комплексно-сопряженные, то У=- (и.,;-;;+...+в„,. ), я — л если все корки вещественные, то (4+ '2+ + 22) 1 2 2 з 4.3, основныв теОРемы тэз По условию теоремы вещественные части всех корней карактеристического уравнения отрицательны. В принятых обозначениях будем иметь ч,(0, тз(0, Хз(0,...,)4„(0. Из этого следует, что квадратичная часть производной Р будет определенно-отрицательной функцией переменных и„о„и„оз, г„,..., гз, а вместе с ней при достаточно малых значениях ) г„1 определенно-отрицательной будет и производная Р независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (з 2.3), что доказывает сформулированную теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
