Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 15
Текст из файла (страница 15)
~ лг 7 Пример. Система представляет двойной Я~ 1 маятник; тела 1яз и гггз с маосами ют и тз рассматриваются как материальные точки; массой стержней, сопротивлением воздуха и трением в горизонтальных цилиндрических опорах пренебрегаем; спиральные пруяснны' с жесткостями к, и к, при верх- Рис. 3,1 ием вертикальном положении маятникоз находятся з естестзеннои недефориирозанном состоянии (рнс. 3.1). Считая массы тг н тз маятпнкоз и пх длины й и 7 задан- (3.7) ция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости, что и доказывает теорему Лагранжа. Теорема Лагранжа птироко используется в приложениях. Как правило, при ее практическом применении удобнее всего разложить потенциальную энергию в ряд по степеням д„..., д„а затем воспользоваться критерием Сильвестра (2.9).
В общем виде имеем П=П(0)+~~1~(дП) д + — ~~1~~~1~( дП 1 д „+..., 1=1 1-1 Г=г где точками обозначены члены, содержащие д„..., д, в степени выше второй. По условию П (О) = 0 (в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю); кроме того, в атом положении должны выполняться равенства (3.2). Поэтому 80 ГЛ. Нг.
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ иыми, определим жесткости пружкя хг и х, так, чтобы з верхнем зертикальиом положении равновесие ыаятпйков было устойчивым. Связи системы идеальны, стациопариы и голопомпы, а активные силы, действующие па систему, консервативны. Поэтому здесь применима теорема Лагранжа. Положение маятников будем определять углами ~р, и ~рз. Потепциальиая энергия П системы складывается из потеициальиой энергии П, прй'жия и потенциальной энергии П сил тяжести П =- П, + и,. Имеем 1 П =- 2 хбр'+ 2 ~( — В)', П, = .— тпу)г (1 — соз ю,) — тзу (1г (1 — сое ю,) + (з (1 — соз грз)]. Следовательно, 1 П = 2 нгТг+ 2 хг(~раз — 2Т,<рз+Т~)— — (тг + те) Г1з (1 — соз Тг) — тег1, (1 — сое <рс). Пользуясь разложением косипуса в.ряд Маклорена: зз соз х = 1 — — —,' 2 получим после группировки 1 П =.
—, ((хг+ хг — (т1+ тз) у11] <рггу — 2 грср +(' — а()т1)+ где точками обозначены члены, содержащие иг и грз з степеии выше второй. Введем обозиачекия сы — — хг + хз — (тг + т,) у(О см = см — — — х„сзе =- хе — тес) Тогда П = 2 (сцТ';+ 2с1зрг(Рз Р стТ.) + Критерий Сильвестра (2.9) в данном примере имеет вид сп сгз ] Л,= п>О, Л,=~ ~ = спсез — с >О. см см~ зз Вместо атих неравенств можно ввести даа других, им зквкеалептпых (опи могут быть получеиы, в частности, из критерия Сильвестра простой перестановкой иадексов): сзз > О, с1гс1з сгз > О.
Пользуясь значениями сгЬ получим хз — тзу1, > О, (хз — тзу(з) (хт + хт — (т, + тз)211] — хз > О. решая зти неравенства относительно х, и х„ легко найдем хз з х,>таурт х1> +(ли+те)г1,— х,. х, — теу1, 5 3 2 ОБРАТИМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАН)КА 31 Положим А = тзггм В = [т, + ~и,) ггг 'Тогда последние неравенства принимают зкд 3 х.)А, х,), А + — к' Преобразуем второе неравенство. Имеем кз — Аз+ Аз Аз х1) А + — кз — — х,,+А+ А + — хз.
язв Хз Теигрь условие устойчивости принимает звд Аз Х1) А +А+В, кз А. (3.8) Нз рис. 3.2 показана область уетойчияости равновесия вертикального положения. Рйь Зя Аз Граница области определяется уразнеяяем к, = х А + А + + В и неравенством хз ) А. 3 3.2. Обратимость теоремы Лагранжа Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы: если потенциальная знергии имеет в положении изолированного равновесии минимум, то равновесие устойчиво.
Ляпунов первый поставил вопрос об обратимоти теоремы Лагранжа, а именно: можно ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивымс Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. ~35)). 1. Если в положении изолированного равновесия потенциальная энергия не имеет минимума и его отсутствие определяется членами второго порядка малости бев необ- 82 гл. и>. устойчивость консвгвлтнвных систвм ходил>осп>и рассматривания членов высшего порядка, то равновесие неустойчиво.
2. Если в положении изолированного равновесия поте>сциольная энергия имеет максимум, определяемый по членам наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении атой функции, то равновесие неустойчиво. Н. Г. Четаев обобщил эти теоремы Ляпунова и доказал следующую теорему: если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия П, предполагаем я аналитической функцией д,..., д„не имеет минимума, то рав>ювесие неустойчиво (см, (46)), На основании приведенных теорем з 3.2 и 3.1 будем е дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии.
Из этого следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изолировано. $3.3. Циклические координаты. Преобразование Рауоа Существует обширный класс механических систем, для которых некоторые координаты не входят явным об- разом в кинетическую энергию системы, а обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю. Такие координаты называются циклическими, а осталь- ные координаты системы — позиционными или просто нециклическими. Так, например, для искусственного спутника Земли (см. пример 2 8 2.6) координата >р— циклическая, а коордннать> 6 и г — позиционные.
Для конического маятника (пример 1 т 2.6) координата >(>— циклическая, а координата Π— позиционная. Для волчка (пример з 3 з 2.6) координаты >х и ~) — позиционные, а координата ф — циклическая. Пусть оы .. „ о> — позиционные, а фы ...,>р циклические координаты системы. Запишем уравнения Ла- гранжа для циклических координат в дт 3> = Р, (1 =--1,..., „). (3.9) в> дф. зф Пинетическая энергия Т системы по определению цикли- ческих координат не зависит явным образом от ф>, поэтому — —.= О, дф.
5 3.3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ аз Кроме того, обобщенные силы <',1т, соответствующие циклическим координатам,, равны йулю Рч =О. ~/ Следовательно, уравнения Лагранжа (3.9) для циклических координат принимают вид — — =О (у.—.1,..., т). д дТ (ЗЛП) д< дф. Эти уравнения допускают очевидные первые интегралы р;= —. =-с;=сопз$ (3'=1,..., т), (ЗЛ1) дТ дф показывающие, что обобщегм<ь<е импульсы, соответствующие циклическим координатам, осгааются настоянными во вес время движения.
Первые интегралы (ЗЛ1) можно использовать для преобразования уравнений Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу и носит его имя. Не останавливаясь на выводе (см., например, (38, 49)), приведем только результаты. Правые части первых интегралов (ЗЛ1) содержат циклические скорости фг линейно, так как Т вЂ” квадратичная функция скоростей. Найдем пэ т первых интегралов (3.11) все фн выразив их через д» и <'», 'внесем затем их з выражение для кинетической энергии н обозначим результат подстановки череа Т", после чего составим функцаю Рауса по следующей - формуле: Л=т' — Х с.ф . »= — 1 В этом выражении циклические скорости ф» должны быть заменены нх аначениямн, полученными иа первых интегралов (3.11).
Уравнения для позиционных координат дд примут вид (предполагается, что силы, действующие на систему, потенциальны; в противном случае в правой сти уравнений будут стоят обобщенные силы Дт) д дЛ дн дП вЂ” — — — — — (1=1,...,3). (ЗЛЗ) д< дд. дд< дд. Функция Рауса не содержит циклических координат <Р и скоростей ф, а зависит только от д» и < ».
Поэтому движение в позиционных координатах о< мол<но изучать 84 ГЛ. И1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ по уравнениям (3.13), как бы игнорируя циклические координаты (конечно, до тех пор, пока рассматриваются одни уравнения (3.13)). В связи с этим движение в циклических координатах называется скрытым движением, а движение в позиционных координатах — лдммм движением.
Остановимся подробно на структуре функции Рауса. В результате всех преобразований, связанных с построением по формуле (3.12), в функции Рауса Л можно выделить слагаемое Лг, содержащее позиционные скорости 1' во второй степени, слагаемое Л„содержащее позиционные скорости ф в первой степени, и слагаемое Лг, независящее от скоростей д: Л=.ЛА+ Л1+ Ла, (3.14) где 1 С-1 Лг= В р~ г а~111'.1 (3 15) Л,—. ~ а,г'г 1=. ' ' (3 16) Разбивая на отдельные слагаемые и учитывая, что Л„не дВА зависит от ф и, следовательно, — =- О, получим после группировки д дВ дВ дП дВ ( д дВ1 дВ1) (31у) дг дд, дчг дд доз ( Ф дд дд Пользуясь формулой (3.16) для Л„преобразуем выражение, стоящее в скобках.
Имеем дВ1 д ' 1-1 В этих равенствах коэффициенты а~д —— аы, а,, а также Лг — функции позиционных координат д„..., д, и постоянных интегрирования с„..., с . Не останавливаясь на доказательстве (см., например, (38]), отметим, что квадратичная форма Лг является определенно-полон1ительной. Внесем в уравнения (3.13) значение функции Рауса из формулы (3 14): д д(В1+ Вг+ Вг) д(В1+ Вг+ Во) дП дг д4. дд дд.
5 З.г. ЦИКЛИЧЕСКИК КООРДИНАТЫ Учитывая, что а; зависит от времени 1 сложным образом ~еРез 17„..., йм полУчим по пРавилам диффеРенЦиРоваиия сложной функции дп да. Ч-Л да. А дйл й а~.г ддг Л.=л Заменим теперь в формуле (3.16) индекс суммирования у на лс и продифференцируем по д,: а а дВ~ д чт . Ъл даЛ вЂ” ' = — Р о,лг= Р— 4„. ддд дд. а~,л ' ~ Л дг 1=1 1=1 Следовательно, г Л длт дн ' ( даг дал 1 лр Л=1 1=1 где так называемые гироскопические коэффициенты йдл определены равенствами да. дат до д ддл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
